Страница 30 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция задана формулой $f(x) = \frac{5 + x^2}{5 - x^2}$. Укажите неверное равенство.

1) $f(0) = 1$

2) $f(1) = 1,5$

3) $f(-1) = -1,5$

4) $f(2) = 9$

Для того чтобы определить неверное равенство, необходимо поочередно проверить каждое из предложенных утверждений, подставляя соответствующее значение аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = \frac{5 + x^2}{5 - x^2}$.

1) f(0) = 1

Подставляем $x=0$ в заданную функцию:
$f(0) = \frac{5 + 0^2}{5 - 0^2} = \frac{5+0}{5-0} = \frac{5}{5} = 1$.
Результат вычислений ($1$) совпадает с предложенным в равенстве ($1$). Следовательно, это равенство верное.

2) f(1) = 1,5

Подставляем $x=1$ в заданную функцию:
$f(1) = \frac{5 + 1^2}{5 - 1^2} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{6}{4} = 1,5$.
Результат вычислений ($1,5$) совпадает с предложенным в равенстве ($1,5$). Следовательно, это равенство верное.

3) f(-1) = -1,5

Подставляем $x=-1$ в заданную функцию:
$f(-1) = \frac{5 + (-1)^2}{5 - (-1)^2} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{6}{4} = 1,5$.
Результат вычислений ($1,5$) не совпадает с предложенным в равенстве ($-1,5$). Следовательно, это равенство неверное.

4) f(2) = 9

Подставляем $x=2$ в заданную функцию:
$f(2) = \frac{5 + 2^2}{5 - 2^2} = \frac{5+4}{5-4} = \frac{9}{1} = 9$.
Результат вычислений ($9$) совпадает с предложенным в равенстве ($9$). Следовательно, это равенство верное.

По результатам проверки единственным неверным является равенство, указанное в пункте 3.
Ответ: 3.

2. Функция задана формулой $f(x) = -\frac{48}{x}$. Укажите значение аргумента, при котором $f(x) = -32$.

1) $\frac{2}{3}$

2) $-\frac{2}{3}$

3) $1,5$

4) $-1,5$

По условию задачи нам дана функция $f(x) = -\frac{48}{x}$. Требуется найти значение аргумента $x$, при котором значение функции равно -32, то есть $f(x) = -32$.

Для этого приравняем выражение для функции к заданному значению и решим полученное уравнение:

$-\frac{48}{x} = -32$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знаков минус:

$\frac{48}{x} = 32$

Теперь, чтобы найти $x$, мы можем выразить его из этого уравнения. $x$ является делителем, чтобы найти его, нужно делимое (48) разделить на частное (32):

$x = \frac{48}{32}$

Сократим полученную дробь. Оба числа, 48 и 32, делятся на 16:

$x = \frac{48 \div 16}{32 \div 16} = \frac{3}{2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$x = 1,5$

Данное значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 1,5

3. На рисунке 10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-1)$ и $f(0)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -3$;

3) область значений функции.

Рис. 10

1) f(–1) и f(0);

Чтобы найти значение функции в точке по её графику, необходимо найти на оси $x$ (оси абсцисс) заданное значение аргумента, а затем найти соответствующую ему точку на графике. Ордината (координата $y$) этой точки и будет искомым значением функции.

Для нахождения $f(-1)$, находим на оси $x$ точку $x = -1$. Проводим от неё вертикальную линию вверх до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет координаты $(-1; 1)$. Таким образом, ордината равна 1, и $f(-1) = 1$.

Для нахождения $f(0)$, находим на оси $x$ точку $x = 0$ (начало координат). График пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; -1)$. Таким образом, ордината равна -1, и $f(0) = -1$.

Ответ: $f(-1) = 1$, $f(0) = -1$.

2) значения x, при которых f(x) = –3;

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) = -3$, нужно найти абсциссы всех точек графика, ордината которых равна $-3$. Для этого проведём горизонтальную прямую $y = -3$.

Эта прямая пересекает график функции в двух точках.

Чтобы найти значения $x$, соответствующие этим точкам, опустим из них перпендикуляры на ось $x$. Перпендикуляры указывают на значения $x = 1$ и $x = 3$.

Следовательно, $f(x) = -3$ при $x = 1$ и $x = 3$.

Ответ: $x = 1$, $x = 3$.

3) область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения (в данном случае на промежутке $[-4; 5]$). Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на этом промежутке.

Найдём самую низкую точку на графике в пределах заданной области определения. Это вершина параболического участка, её координаты $(2; -4)$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{min} = -4$.

Найдём самую высокую точку на графике. Сравнивая значения на концах промежутка ($f(-4)=2$, $f(5)=5$) и локальные максимумы (в точке $(-2;2)$), видим, что наибольшее значение достигается на правом конце области определения, в точке $(5; 5)$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{max} = 5$.

Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от $-4$ до $5$ включительно.

Ответ: $E(f) = [-4; 5]$.

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{6-x} + \frac{1}{x^2-36}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{9-x}} + \frac{1}{x^2+8x}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{6 - x} + \frac{1}{x^2 - 36}$ находится из следующих условий:

Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$6 - x \ge 0$
$x \le 6$

Во-вторых, знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^2 - 36 \ne 0$
$(x - 6)(x + 6) \ne 0$
Отсюда $x \ne 6$ и $x \ne -6$.

Объединим эти условия в систему:
$\begin{cases} x \le 6 \\ x \ne 6 \\ x \ne -6 \end{cases}$

Из первых двух условий ($x \le 6$ и $x \ne 6$) следует, что $x < 6$. Также необходимо исключить значение $x = -6$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 6, кроме -6. В виде интервалов это записывается как $(-\infty, -6) \cup (-6, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, 6)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{9 - x}} + \frac{1}{x^2 + 8x}$ находится из следующих условий:

Для первого слагаемого $\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{9 - x}}$ должны выполняться условия:
1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x + 8 \ge 0 \implies x \ge -8$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень в знаменателе, который не может быть равен нулю): $9 - x > 0 \implies x < 9$.

Для второго слагаемого $\frac{1}{x^2 + 8x}$ знаменатель не должен равняться нулю:
$x^2 + 8x \ne 0$
$x(x + 8) \ne 0$
Отсюда $x \ne 0$ и $x \ne -8$.

Объединим все условия в систему:
$\begin{cases} x \ge -8 \\ x < 9 \\ x \ne 0 \\ x \ne -8 \end{cases}$

Из условий $x \ge -8$ и $x \ne -8$ следует, что $x > -8$.
Совмещая с остальными условиями, получаем: $x$ должен быть в интервале $(-8, 9)$, при этом не равняясь нулю.
Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов $(-8, 0)$ и $(0, 9)$.

Ответ: $x \in (-8, 0) \cup (0, 9)$.

5. Постройте график функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 3x - 4}$.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 3x - 4}$, в первую очередь, найдем ее область определения. Область определения функции — это все значения $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые необходимо исключить из области определения:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = -4$. Записать это можно так: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Для всех $x$ из области определения числитель и знаменатель дроби равны, поэтому их можно сократить:

$f(x) = 1$, при $x \neq 1$ и $x \neq -4$.

Таким образом, график нашей функции совпадает с графиком функции $y = 1$ за исключением двух точек. График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 1)$.

На этой прямой нужно "выколоть" (обозначить пустыми кружочками) точки, абсциссы которых не входят в область определения функции. Это точки с абсциссами $x = 1$ и $x = -4$. Ордината для обеих точек равна 1.

Координаты выколотых точек: $(1, 1)$ и $(-4, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с двумя выколотыми точками: $(-4, 1)$ и $(1, 1)$.