Страница 24 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых чисел является решением системы неравенств

$\begin{cases} x \le 6, \\ x < -1? \end{cases}$

1) -1

2) 6

3) -1,1

4) -0,9

Для того чтобы число являлось решением системы неравенств, оно должно удовлетворять каждому неравенству в этой системе. Рассмотрим данную систему:

$$ \begin{cases} x \le 6, \\ x < -1 \end{cases} $$

Решением системы является пересечение множеств решений этих двух неравенств. Решением первого неравенства $x \le 6$ является числовой промежуток $(-\infty; 6]$. Решением второго неравенства $x < -1$ является числовой промежуток $(-\infty; -1)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-\infty; -1)$. Следовательно, искомое число должно быть строго меньше -1.

Проверим каждое из предложенных чисел, подставляя их в оба неравенства системы, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим условиям.

1) -1
Подставим $x = -1$ в систему:
Первое неравенство: $-1 \le 6$. Это верно.
Второе неравенство: $-1 < -1$. Это неверно.
Поскольку второе неравенство не выполняется, число -1 не является решением системы.

2) 6
Подставим $x = 6$ в систему:
Первое неравенство: $6 \le 6$. Это верно.
Второе неравенство: $6 < -1$. Это неверно.
Поскольку второе неравенство не выполняется, число 6 не является решением системы.

3) -1,1
Подставим $x = -1,1$ в систему:
Первое неравенство: $-1,1 \le 6$. Это верно.
Второе неравенство: $-1,1 < -1$. Это верно.
Поскольку оба неравенства выполняются, число -1,1 является решением системы.

4) -0,9
Подставим $x = -0,9$ в систему:
Первое неравенство: $-0,9 \le 6$. Это верно.
Второе неравенство: $-0,9 < -1$. Это неверно.
Поскольку второе неравенство не выполняется, число -0,9 не является решением системы.

Таким образом, единственное число из предложенных вариантов, которое является решением системы, — это -1,1, что соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

2. Сколько целых чисел принадлежит промежутку $[-5; 3)$?

1) 7 2) 8 3) 9 4) 10

Заданный промежуток — это полуинтервал $[-5; 3)$. Он включает в себя все числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-5 \le x < 3$. Квадратная скобка у числа -5 означает, что это число входит в промежуток, а круглая скобка у числа 3 означает, что оно в промежуток не входит.

Чтобы найти количество целых чисел в этом промежутке, можно их перечислить. Целые числа, которые больше или равны -5 и строго меньше 3, это:
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Посчитав количество этих чисел, получаем 8.

Также можно воспользоваться правилом: количество целых чисел в полуинтервале $[a; b)$ равно разности его концов, то есть $b-a$.
В данном случае, $a = -5$ и $b = 3$.
Количество целых чисел равно $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$.

Таким образом, промежутку $[-5; 3)$ принадлежит 8 целых чисел. Среди предложенных вариантов это ответ под номером 2.

Ответ: 8

3. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -4x \ge -16, \\ x + 2 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x - 2 > 8x - 5, \\ 2 - x > 3x - 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4 - 5x \ge 14, \\ 7x + 3 \ge 10. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -4x \ge -16, \\ x + 2 > 0; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$-4x \ge -16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-16}{-4}$

$x \le 4$

Теперь решим второе неравенство:

$x + 2 > 0$

Перенесем 2 в правую часть, изменив знак:

$x > -2$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x \le 4$ и $x > -2$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше -2 и меньше или равен 4.

Запишем это в виде двойного неравенства: $-2 < x \le 4$.

В виде интервала это записывается как $(-2; 4]$.

Ответ: $(-2; 4]$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 6x - 2 > 8x - 5, \\ 2 - x > 3x - 6; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$6x - 2 > 8x - 5$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$6x - 8x > -5 + 2$

$-2x > -3$

Разделим обе части на -2, не забывая изменить знак неравенства:

$x < \frac{-3}{-2}$

$x < 1.5$

Решим второе неравенство:

$2 - x > 3x - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$-x - 3x > -6 - 2$

$-4x > -8$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства:

$x < \frac{-8}{-4}$

$x < 2$

Найдем пересечение решений $x < 1.5$ и $x < 2$. Оба неравенства выполняются, когда выполняется более строгое из них, то есть $x < 1.5$.

В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1.5)$.

Ответ: $(-\infty; 1.5)$.

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4 - 5x \ge 14, \\ 7x + 3 \ge 10. \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$4 - 5x \ge 14$

$-5x \ge 14 - 4$

$-5x \ge 10$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{10}{-5}$

$x \le -2$

Решим второе неравенство:

$7x + 3 \ge 10$

$7x \ge 10 - 3$

$7x \ge 7$

$x \ge \frac{7}{7}$

$x \ge 1$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -2$ и $x \ge 1$. Нам нужно найти числа, которые одновременно меньше или равны -2 и больше или равны 1. Таких чисел не существует, поэтому множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений.

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\sqrt{18-9x} + \frac{1}{\sqrt{6x+24}}$?

Данное выражение имеет смысл (определено), когда оба слагаемых, входящих в него, имеют смысл. Это накладывает ограничения на возможные значения переменной $x$. Рассмотрим эти ограничения по порядку.

1. Для первого слагаемого $\sqrt{18 - 9x}$:

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:

$18 - 9x \geq 0$

Перенесем $9x$ в правую часть неравенства:

$18 \geq 9x$

Разделим обе части на 9 (знак неравенства не меняется, так как 9 > 0):

$2 \geq x$, что эквивалентно $x \leq 2$.

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt{6x + 24}}$:

Здесь переменная $x$ находится в знаменателе под знаком квадратного корня. Это означает, что должны выполняться два условия одновременно:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $6x + 24 \geq 0$.
• Знаменатель не может быть равен нулю, что означает $\sqrt{6x + 24} \neq 0$, и, следовательно, $6x + 24 \neq 0$.

Объединяя эти два условия, мы получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

$6x + 24 > 0$

Решим это неравенство:

$6x > -24$

Разделим обе части на 6:

$x > -4$.

3. Область допустимых значений.

Чтобы исходное выражение имело смысл, оба найденных условия должны выполняться одновременно. Таким образом, нам нужно найти пересечение множеств решений двух неравенств, то есть решить систему:

$\begin{cases} x \leq 2 \\ x > -4 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал, в котором $x$ строго больше $-4$ и меньше или равен $2$.

$-4 < x \leq 2$

В виде промежутка это записывается как $(-4, 2]$.

Ответ: Выражение имеет смысл при $x \in (-4, 2]$.