Номер 4, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\sqrt{18-9x} + \frac{1}{\sqrt{6x+24}}$?

Данное выражение имеет смысл (определено), когда оба слагаемых, входящих в него, имеют смысл. Это накладывает ограничения на возможные значения переменной $x$. Рассмотрим эти ограничения по порядку.

1. Для первого слагаемого $\sqrt{18 - 9x}$:

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:

$18 - 9x \geq 0$

Перенесем $9x$ в правую часть неравенства:

$18 \geq 9x$

Разделим обе части на 9 (знак неравенства не меняется, так как 9 > 0):

$2 \geq x$, что эквивалентно $x \leq 2$.

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt{6x + 24}}$:

Здесь переменная $x$ находится в знаменателе под знаком квадратного корня. Это означает, что должны выполняться два условия одновременно:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $6x + 24 \geq 0$.
• Знаменатель не может быть равен нулю, что означает $\sqrt{6x + 24} \neq 0$, и, следовательно, $6x + 24 \neq 0$.

Объединяя эти два условия, мы получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

$6x + 24 > 0$

Решим это неравенство:

$6x > -24$

Разделим обе части на 6:

$x > -4$.

3. Область допустимых значений.

Чтобы исходное выражение имело смысл, оба найденных условия должны выполняться одновременно. Таким образом, нам нужно найти пересечение множеств решений двух неравенств, то есть решить систему:

$\begin{cases} x \leq 2 \\ x > -4 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал, в котором $x$ строго больше $-4$ и меньше или равен $2$.

$-4 < x \leq 2$

В виде промежутка это записывается как $(-4, 2]$.

Ответ: Выражение имеет смысл при $x \in (-4, 2]$.