Номер 4, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 - 3x} - \frac{1}{\sqrt{21 - 3x}}$?

Для того чтобы данное выражение имело смысл, необходимо найти его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение состоит из двух дробей, и для каждой из них должны выполняться определенные условия.

Исходное выражение: $ \frac{1}{x^2 - 3x} - \frac{1}{\sqrt{21 - 3x}} $

Рассмотрим ограничения, накладываемые каждым из знаменателей.

1. Ограничение для первой дроби $ \frac{1}{x^2 - 3x} $:

Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

$ x^2 - 3x \neq 0 $

Разложим знаменатель на множители, вынеся $x$ за скобки:

$ x(x - 3) \neq 0 $

Это неравенство выполняется, когда ни один из множителей не равен нулю. То есть:

$ x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

2. Ограничение для второй дроби $ \frac{1}{\sqrt{21 - 3x}} $:

Здесь знаменатель содержит квадратный корень. Это накладывает два условия:

а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 21 - 3x \ge 0 $.

б) Сам знаменатель не должен быть равен нулю: $ \sqrt{21 - 3x} \neq 0 $, что равносильно $ 21 - 3x \neq 0 $.

Объединяя эти два условия, мы получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

$ 21 - 3x > 0 $

Решим это неравенство относительно $x$:

$ -3x > -21 $

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x < \frac{-21}{-3} $

$ x < 7 $

3. Объединение всех условий:

Для того чтобы исходное выражение имело смысл, должны выполняться все найденные условия одновременно. Запишем их в виде системы:

$ \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 3 \\ x < 7 \end{cases} $

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше 7, за исключением точек $x=0$ и $x=3$.

На числовой прямой это интервал $ (-\infty; 7) $ с выколотыми точками 0 и 3. В виде объединения интервалов это записывается следующим образом:

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 7) $.