Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых чисел является решением системы неравенств $ \begin{cases} x - 3 > 1, \\ -0,5x \ge -4 \end{cases} $?

1) 3

2) 4

3) 8

4) 9

Чтобы определить, какое из приведённых чисел является решением системы неравенств, необходимо подставить каждое число в оба неравенства и проверить их истинность. Решением будет то число, при подстановке которого оба неравенства обращаются в верные числовые неравенства.

Исходная система:
$ \begin{cases} x - 3 > 1, \\ -0,5x \ge -4 \end{cases} $

1) 3

Проверим число 3.
Первое неравенство: $3 - 3 > 1 \implies 0 > 1$. Это неверно.
Поскольку первое неравенство не выполняется, число 3 не является решением системы.

2) 4

Проверим число 4.
Первое неравенство: $4 - 3 > 1 \implies 1 > 1$. Это неверно (1 не больше 1).
Число 4 не является решением системы.

3) 8

Проверим число 8.
Первое неравенство: $8 - 3 > 1 \implies 5 > 1$. Это верно.
Второе неравенство: $(-0,5) \cdot 8 \ge -4 \implies -4 \ge -4$. Это верно.
Оба неравенства выполняются, следовательно, число 8 является решением системы.

4) 9

Проверим число 9.
Первое неравенство: $9 - 3 > 1 \implies 6 > 1$. Это верно.
Второе неравенство: $(-0,5) \cdot 9 \ge -4 \implies -4,5 \ge -4$. Это неверно.
Поскольку второе неравенство не выполняется, число 9 не является решением системы.

Таким образом, из предложенных вариантов только число 8 удовлетворяет обоим неравенствам системы.

Ответ: 8.

2. Сколько целых решений имеет система неравенств

$\begin{cases}1 - 3x < 16, \\7 + 2x \le 7?\end{cases}$

1) 6

2) 5

3) 4

4) 3

Чтобы найти количество целых решений системы, решим каждое неравенство по отдельности.

Решим первое неравенство:

$1 - 3x < 16$

Перенесем 1 в правую часть, изменив знак:

$-3x < 16 - 1$

$-3x < 15$

Разделим обе части на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x > \frac{15}{-3}$

$x > -5$

Теперь решим второе неравенство:

$7 + 2x \le 7$

Перенесем 7 в правую часть:

$2x \le 7 - 7$

$2x \le 0$

Разделим обе части на 2:

$x \le 0$

Мы получили два условия для $x$: $x > -5$ и $x \le 0$. Решением системы является пересечение этих двух множеств, которое можно записать в виде двойного неравенства:

$-5 < x \le 0$

Теперь найдем все целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству. Это числа, которые строго больше -5 и меньше или равны 0. Перечислим их:

-4, -3, -2, -1, 0.

Подсчитаем количество этих чисел: их ровно 5.

Ответ: 5

3. Решите систему неравенств:

1)

2)

3)

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$(x - 3)(x + 6) > (x - 4)(x + 4)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$x^2 + 6x - 3x - 18 > x^2 - 16$
$x^2 + 3x - 18 > x^2 - 16$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а остальные в другую:
$x^2 - x^2 + 3x > -16 + 18$
$3x > 2$
$x > \frac{2}{3}$

Второе неравенство:
$(x - 6)^2 < x(x - 2)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 12x + 36 < x^2 - 2x$
Перенесем члены с $x^2$ и $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$x^2 - x^2 - 12x + 2x < -36$
$-10x < -36$
Разделим обе части на -10, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-36}{-10}$
$x > 3.6$

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x > \frac{2}{3}$ и $x > 3.6$. Общим решением будет более сильное неравенство, то есть $x > 3.6$.

Ответ: $(3.6; +\infty)$

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$\frac{3x - 3}{4} - \frac{x + 2}{2} \le 2x$
Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 \cdot \frac{3x - 3}{4} - 4 \cdot \frac{x + 2}{2} \le 4 \cdot 2x$
$(3x - 3) - 2(x + 2) \le 8x$
Раскроем скобки:
$3x - 3 - 2x - 4 \le 8x$
$x - 7 \le 8x$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$-7 \le 8x - x$
$-7 \le 7x$
$-1 \le x$, или $x \ge -1$

Второе неравенство:
$8x + 4 \ge 10x + 1$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$4 - 1 \ge 10x - 8x$
$3 \ge 2x$
$x \le \frac{3}{2}$, или $x \le 1.5$

Найдем пересечение решений: $x \ge -1$ и $x \le 1.5$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $-1 \le x \le 1.5$.

Ответ: $[-1; 1.5]$

3)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$1 - x \le 6x - (3x - 1)$
Раскроем скобки в правой части:
$1 - x \le 6x - 3x + 1$
$1 - x \le 3x + 1$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$1 - 1 \le 3x + x$
$0 \le 4x$
$x \ge 0$

Второе неравенство:
$3(x - 1) - x > 2x + 7$
Раскроем скобки в левой части:
$3x - 3 - x > 2x + 7$
$2x - 3 > 2x + 7$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$2x - 2x > 7 + 3$
$0 > 10$
Получили неверное числовое неравенство. Это означает, что второе неравенство не имеет решений.

Так как одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 - 3x} - \frac{1}{\sqrt{21 - 3x}}$?

Для того чтобы данное выражение имело смысл, необходимо найти его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение состоит из двух дробей, и для каждой из них должны выполняться определенные условия.

Исходное выражение: $ \frac{1}{x^2 - 3x} - \frac{1}{\sqrt{21 - 3x}} $

Рассмотрим ограничения, накладываемые каждым из знаменателей.

1. Ограничение для первой дроби $ \frac{1}{x^2 - 3x} $:

Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

$ x^2 - 3x \neq 0 $

Разложим знаменатель на множители, вынеся $x$ за скобки:

$ x(x - 3) \neq 0 $

Это неравенство выполняется, когда ни один из множителей не равен нулю. То есть:

$ x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

2. Ограничение для второй дроби $ \frac{1}{\sqrt{21 - 3x}} $:

Здесь знаменатель содержит квадратный корень. Это накладывает два условия:

а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 21 - 3x \ge 0 $.

б) Сам знаменатель не должен быть равен нулю: $ \sqrt{21 - 3x} \neq 0 $, что равносильно $ 21 - 3x \neq 0 $.

Объединяя эти два условия, мы получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

$ 21 - 3x > 0 $

Решим это неравенство относительно $x$:

$ -3x > -21 $

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x < \frac{-21}{-3} $

$ x < 7 $

3. Объединение всех условий:

Для того чтобы исходное выражение имело смысл, должны выполняться все найденные условия одновременно. Запишем их в виде системы:

$ \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 3 \\ x < 7 \end{cases} $

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше 7, за исключением точек $x=0$ и $x=3$.

На числовой прямой это интервал $ (-\infty; 7) $ с выколотыми точками 0 и 3. В виде объединения интервалов это записывается следующим образом:

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 7) $.