Страница 27 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция задана формулой $f(x) = -3x^2 + 2x$. Укажите неверное равенство.

1) $f(1) = -1$

2) $f(-1) = 1$

3) $f(0) = 0$

4) $f(2) = -8$

Для того чтобы найти неверное равенство, необходимо проверить каждое из предложенных утверждений, подставляя соответствующее значение аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = -3x^2 + 2x$.

1) $f(1) = -1$

Подставим $x = 1$ в формулу функции:

$f(1) = -3 \cdot (1)^2 + 2 \cdot 1 = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

Данное равенство является верным.

2) $f(-1) = 1$

Подставим $x = -1$ в формулу функции:

$f(-1) = -3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = -3 \cdot 1 - 2 = -3 - 2 = -5$.

Результат вычисления $(-5)$ не совпадает со значением в равенстве $(1)$. Следовательно, данное равенство является неверным.

3) $f(0) = 0$

Подставим $x = 0$ в формулу функции:

$f(0) = -3 \cdot (0)^2 + 2 \cdot 0 = -3 \cdot 0 + 0 = 0$.

Данное равенство является верным.

4) $f(2) = -8$

Подставим $x = 2$ в формулу функции:

$f(2) = -3 \cdot (2)^2 + 2 \cdot 2 = -3 \cdot 4 + 4 = -12 + 4 = -8$.

Данное равенство является верным.

Таким образом, единственное неверное равенство представлено в пункте 2.

Ответ: 2

2. Функция задана формулой $f(x) = 4x - 1$. Укажите значение аргумента, при котором $f(x) = 21$.

1) 5
2) 5,2
3) 5,5
4) 5,4

Функция задана формулой $f(x) = 4x - 1$. Нам нужно найти значение аргумента $x$, при котором значение функции равно 21, то есть $f(x) = 21$.

Для этого составим и решим уравнение, подставив в формулу функции заданное значение:

$4x - 1 = 21$

Чтобы решить это линейное уравнение, сначала перенесем слагаемое -1 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$4x = 21 + 1$

$4x = 22$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4:

$x = \frac{22}{4}$

Выполним деление:

$x = 5,5$

Таким образом, значение аргумента, при котором $f(x) = 21$, равно 5,5. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 5,5

3. На рисунке 7 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 2]$. Пользовались графиком, найдите:

1) $f(-3)$ и $f(0)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = 2$;

3) область значений функции.

Рис. 7

1) f(–3) и f(0)

Чтобы найти значение функции по графику, необходимо найти заданное значение аргумента $x$ на оси абсцисс, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат. Значение на оси ординат и будет искомым значением функции.

Найдем $f(-3)$. Находим на оси $x$ значение –3. Поднимаемся от этой точки вертикально вверх до графика. От точки на графике проводим горизонтальную линию вправо до оси $y$. Эта линия попадает в точку $y=2$. Следовательно, $f(-3) = 2$.

Найдем $f(0)$. Находим на оси $x$ значение 0 (это начало координат). График пересекает ось $y$ в точке –1. Следовательно, $f(0) = -1$.

Ответ: $f(-3) = 2$; $f(0) = -1$.

2) значения x, при которых f(x) = 2

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно определённому числу, нужно на оси $y$ найти это число и провести через него горизонтальную прямую. Абсциссы точек пересечения этой прямой с графиком и будут искомыми значениями $x$.

Проведем горизонтальную прямую $y=2$. Эта прямая пересекает график функции в двух точках. Чтобы найти соответствующие значения $x$, опустим из этих точек перпендикуляры на ось $x$. Получим значения $x = -3$ и $x = -1$.

Ответ: $x = -3$; $x = -1$.

3) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение, которое принимает функция.

По графику видно, что самая низкая точка на заданном промежутке $[-4; 2]$ имеет ординату $y = -2$ (при $x=2$). Это наименьшее значение функции.

Самая высокая точка графика имеет ординату $y = 3$ (при $x=-2$). Это наибольшее значение функции.

Функция принимает все значения между наименьшим и наибольшим. Таким образом, область значений функции — это промежуток от –2 до 3, включая концы.

Ответ: $E(f) = [-2; 3]$.

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x^2-8x-9}$

2) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{8-x}$

1) $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 8x - 9}$

Область определения данной функции — это все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель дроби равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Для решения этого уравнения можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Используем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 9$ и $x = -1$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме -1 и 9.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 9) \cup (9; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{8-x}$

Данная функция представляет собой сумму двух квадратных корней. Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю.

Это условие можно записать в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ 8 - x \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x + 5 \geq 0 \implies x \geq -5$

2) $8 - x \geq 0 \implies 8 \geq x \implies x \leq 8$

Областью определения функции будет пересечение решений этих двух неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \geq -5$ и $x \leq 8$.

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-5 \leq x \leq 8$.

Это соответствует числовому промежутку $[-5; 8]$.

Ответ: $D(f) = [-5; 8]$.

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ x + 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждый из трех промежутков, на которых она определена, и построить соответствующую часть графика.

1. На промежутке $x < -2$

Функция задана как $f(x) = 4$. Это функция-константа, ее график — горизонтальная прямая $y=4$. Поскольку это условие выполняется только для $x < -2$, мы строим луч этой прямой, который начинается в точке с абсциссой $x=-2$. Ордината этой точки $y=4$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 4)$ не принадлежит этой части графика, поэтому мы отмечаем ее как выколотую (пустой кружок).

2. На промежутке $-2 \le x \le 2$

Функция задана как $f(x) = x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим только ту часть параболы, которая находится в пределах отрезка $[-2, 2]$.
Найдем значения функции на концах этого отрезка:

• При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^2 = 4$. Координаты точки $(-2, 4)$.
• При $x = 2$: $f(2) = 2^2 = 4$. Координаты точки $(2, 4)$.

Поскольку неравенства нестрогие ($-2 \le x \le 2$), обе эти точки принадлежат графику и отмечаются как закрашенные. Заметим, что точка $(-2, 4)$ от параболы совпадает с выколотой точкой от луча $y=4$ и "закрашивает" ее. Это означает, что в точке $x=-2$ разрыва нет.

3. На промежутке $x > 2$

Функция задана как $f(x) = x+2$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Мы строим луч, соответствующий условию $x > 2$.
Найдем координаты начальной точки луча, подставив $x=2$: $y = 2+2=4$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 4)$ является выколотой для этой части графика. Однако эта точка является конечной для предыдущей части (параболы) и там она закрашенная. Следовательно, в точке $x=2$ разрыва также нет.
Чтобы построить луч, найдем еще одну точку, взяв любое значение $x > 2$. Например, при $x=3$:
$f(3) = 3+2=5$.
Таким образом, мы строим луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и проходящий через точку $(3, 5)$.

Объединив все три построенные части, мы получаем итоговый график функции. График является непрерывным на всей числовой прямой.

Ответ: График функции состоит из трех частей:
1) Горизонтальный луч $y=4$ на интервале $(-\infty, -2)$.
2) Часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 2]$, соединяющая точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ и проходящая через начало координат.
3) Луч прямой $y=x+2$ на интервале $(2, +\infty)$, выходящий из точки $(2, 4)$.
График функции является непрерывной линией без разрывов.