Страница 33 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция $y = f(x)$ возрастает на множестве действительных чисел. Укажите среди приведённых значений функции $f$ наименьшее.

1) $f \left( -\frac{1}{3} \right)$

2) $f \left( -\frac{1}{6} \right)$

3) $f \left( -\frac{1}{7} \right)$

4) $f \left( -\frac{1}{2} \right)$

По условию, функция $ y = f(x) $ возрастает на множестве действительных чисел. Это означает, что большему значению аргумента $ x $ соответствует большее значение функции $ f(x) $. Формально, если $ x_1 < x_2 $, то $ f(x_1) < f(x_2) $.

Чтобы найти наименьшее из приведённых значений функции $ f(-\frac{1}{3}) $, $ f(-\frac{1}{6}) $, $ f(-\frac{1}{7}) $ и $ f(-\frac{1}{2}) $, нам нужно найти наименьшее значение среди её аргументов: $ -\frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{6} $, $ -\frac{1}{7} $ и $ -\frac{1}{2} $.

Сравним эти числа. Для удобства сравнения отрицательных дробей, сначала сравним их модули (положительные значения):

$ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{6} $, $ \frac{1}{7} $

Приводя к общему знаменателю 42, получаем:

$ \frac{1}{2} = \frac{21}{42} $; $ \frac{1}{3} = \frac{14}{42} $; $ \frac{1}{6} = \frac{7}{42} $; $ \frac{1}{7} = \frac{6}{42} $

Расположим их в порядке возрастания:

$ \frac{6}{42} < \frac{7}{42} < \frac{14}{42} < \frac{21}{42} $, что соответствует $ \frac{1}{7} < \frac{1}{6} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} $.

При сравнении отрицательных чисел порядок меняется на противоположный:

$ -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} < -\frac{1}{6} < -\frac{1}{7} $

Таким образом, наименьшим аргументом является $ -\frac{1}{2} $.

Так как функция $ f(x) $ возрастающая, наименьшему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции. Следовательно, значение $ f(-\frac{1}{2}) $ является наименьшим среди предложенных.

Ответ: $ f(-\frac{1}{2}) $

2. Какая из данных функций является убывающей?

1) $y = -\frac{3-x}{2}$

2) $y = \frac{x+4}{3}$

3) $y = -\frac{5+x}{4}$

4) $y = \frac{x-6}{7}$

Линейная функция вида $y = kx + b$ является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$). Чтобы найти убывающую функцию среди предложенных, определим знак коэффициента $k$ для каждой из них, приведя их к стандартному виду.

Преобразуем функцию к виду $y = kx + b$:

$y = -\frac{3-x}{2} = \frac{-(3-x)}{2} = \frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Преобразуем функцию к виду $y = kx + b$:

$y = \frac{x+4}{3} = \frac{x}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

Угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Преобразуем функцию к виду $y = kx + b$:

$y = -\frac{5+x}{4} = -\left(\frac{5}{4} + \frac{x}{4}\right) = -\frac{x}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}x - \frac{5}{4}$

Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Преобразуем функцию к виду $y = kx + b$:

$y = \frac{x-6}{7} = \frac{x}{7} - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}x - \frac{6}{7}$

Угловой коэффициент $k = \frac{1}{7}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Следовательно, единственной убывающей функцией из приведённых является функция под номером 3.

Ответ: 3

3. При каких значениях a функция $y = x^2 + 2ax + a^2 - 6a + 1$ имеет два нуля?

Данная функция $y = x^2 + 2ax + a^2 - 6a + 1$ является квадратичной относительно переменной $x$. Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Следовательно, нам нужно найти значения параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 + 2ax + (a^2 - 6a + 1) = 0$ имеет два различных действительных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Выпишем коэффициенты этого уравнения, рассматривая его как квадратное относительно $x$:
Коэффициент при $x^2$: $A=1$
Коэффициент при $x$: $B=2a$
Свободный член: $C = a^2 - 6a + 1$

Теперь вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 6a + 1)$
$D = 4a^2 - 4(a^2 - 6a + 1)$
$D = 4a^2 - 4a^2 + 24a - 4$
$D = 24a - 4$

Для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться условие $D > 0$. Решим полученное неравенство относительно $a$:
$24a - 4 > 0$
$24a > 4$
$a > \frac{4}{24}$
$a > \frac{1}{6}$

Таким образом, функция имеет два нуля при всех значениях $a$, которые больше $\frac{1}{6}$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{6}; +\infty)$

4. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $[-6; 3]$, нулями которой являются числа $-4$ и $-1$.

Задача состоит в том, чтобы построить график функции $y = f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Функция определена на промежутке (область определения) $[-6, 3]$.
2. Нули функции, то есть значения $x$, при которых $f(x) = 0$, равны $-4$ и $-1$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. Мы можем выбрать любую из них. В качестве примера построим график простой квадратичной функции (параболы).

1. Выбор и задание функции

Если функция имеет нули в точках $x_1$ и $x_2$, ее можно представить в виде $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — это некоторый числовой коэффициент, не равный нулю. Подставим в эту формулу заданные нули $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$:
$f(x) = a(x - (-4))(x - (-1)) = a(x + 4)(x + 1)$.

Мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a$. Для простоты возьмем $a=1$. Тогда наша функция примет вид:
$y = (x + 4)(x + 1)$
Раскрыв скобки, получим уравнение параболы:
$y = x^2 + x + 4x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

2. Анализ и нахождение ключевых точек

Теперь нам нужно построить график функции $y = x^2 + 5x + 4$ на отрезке $[-6, 3]$. Для этого найдем координаты нескольких ключевых точек:

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): Мы их задали сами: $x = -4$ и $x = -1$. Координаты этих точек: $(-4, 0)$ и $(-1, 0)$.
• Вершина параболы: Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=5$, поэтому:
  $x_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$.
  Чтобы найти ординату вершины, подставим $x_v = -2.5$ в уравнение функции:
  $y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$.
  Координаты вершины: $(-2.5, -2.25)$.
• Точки на концах отрезка $[-6, 3]$: Найдем значения функции на границах области определения.
  При $x = -6$: $y = (-6)^2 + 5(-6) + 4 = 36 - 30 + 4 = 10$. Координаты начальной точки графика: $(-6, 10)$.
  При $x = 3$: $y = 3^2 + 5(3) + 4 = 9 + 15 + 4 = 28$. Координаты конечной точки графика: $(3, 28)$.

3. Построение графика

Чтобы начертить график, необходимо:

1. Начертить систему координат $Oxy$.
2. Отметить найденные точки: $(-6, 10)$, $(-4, 0)$, $(-2.5, -2.25)$, $(-1, 0)$ и $(3, 28)$.
3. Соединить эти точки плавной кривой, помня, что это парабола с ветвями, направленными вверх.
4. График должен существовать только в пределах от $x=-6$ до $x=3$.

График будет представлять собой фрагмент параболы, который начинается в точке $(-6, 10)$, спускается до вершины в точке $(-2.5, -2.25)$, пересекая ось $x$ в точке $(-4, 0)$, а затем поднимается, пересекая ось $x$ в точке $(-1, 0)$ и заканчиваясь в точке $(3, 28)$.

Ответ: В качестве примера можно начертить график функции $y = x^2 + 5x + 4$ на отрезке $[-6, 3]$. Это будет часть параболы, которая проходит через точки $(-6, 10)$, $(-4, 0)$, $(-1, 0)$, $(3, 28)$ и имеет вершину в точке $(-2.5, -2.25)$.

5. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $ [-6; 3] $, которая убывает на промежутках $ [-6; -2] $ и $ [1; 3] $ и возрастает на промежутке $ [-2; 1] $.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать эти условия:

1. Область определения функции — отрезок $ [-6; 3] $. Это значит, что график должен быть начерчен только для значений $x$ в этом промежутке.

2. Убывание функции на промежутках $ [-6; -2] $ и $ [1; 3] $. На этих участках график должен идти вниз при движении слева направо.

3. Возрастание функции на промежутке $ [-2; 1] $. На этом участке график должен идти вверх.

Из этих условий следует, что:

- В точке $x = -2$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
- В точке $x = 1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.

Существует бесконечное множество функций с такими свойствами. Мы можем построить один из самых простых вариантов — график в виде ломаной линии. Для этого выберем произвольные, но подходящие под условия, значения функции в ключевых точках (на концах отрезка и в точках экстремума):

- Пусть в начальной точке $x = -6$ значение функции будет $f(-6) = 2$.
- В точке минимума $x = -2$ значение должно быть меньше. Возьмём, к примеру, $f(-2) = -1$.
- В точке максимума $x = 1$ значение должно быть больше. Возьмём, к примеру, $f(1) = 3$.
- В конечной точке $x = 3$ значение должно быть меньше, чем в точке максимума. Возьмём, к примеру, $f(3) = 0$.

Таким образом, мы получили ключевые точки с координатами: $(-6; 2)$, $(-2; -1)$, $(1; 3)$ и $(3; 0)$. Соединив их последовательно отрезками прямых, мы получим график, удовлетворяющий всем поставленным условиям.

Ответ:

Ниже представлен один из возможных графиков функции, построенный по указанным точкам.