Номер 4, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $[-6; 3]$, нулями которой являются числа $-4$ и $-1$.

Задача состоит в том, чтобы построить график функции $y = f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Функция определена на промежутке (область определения) $[-6, 3]$.
2. Нули функции, то есть значения $x$, при которых $f(x) = 0$, равны $-4$ и $-1$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. Мы можем выбрать любую из них. В качестве примера построим график простой квадратичной функции (параболы).

1. Выбор и задание функции

Если функция имеет нули в точках $x_1$ и $x_2$, ее можно представить в виде $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — это некоторый числовой коэффициент, не равный нулю. Подставим в эту формулу заданные нули $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$:
$f(x) = a(x - (-4))(x - (-1)) = a(x + 4)(x + 1)$.

Мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a$. Для простоты возьмем $a=1$. Тогда наша функция примет вид:
$y = (x + 4)(x + 1)$
Раскрыв скобки, получим уравнение параболы:
$y = x^2 + x + 4x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

2. Анализ и нахождение ключевых точек

Теперь нам нужно построить график функции $y = x^2 + 5x + 4$ на отрезке $[-6, 3]$. Для этого найдем координаты нескольких ключевых точек:

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): Мы их задали сами: $x = -4$ и $x = -1$. Координаты этих точек: $(-4, 0)$ и $(-1, 0)$.
• Вершина параболы: Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=5$, поэтому:
  $x_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$.
  Чтобы найти ординату вершины, подставим $x_v = -2.5$ в уравнение функции:
  $y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$.
  Координаты вершины: $(-2.5, -2.25)$.
• Точки на концах отрезка $[-6, 3]$: Найдем значения функции на границах области определения.
  При $x = -6$: $y = (-6)^2 + 5(-6) + 4 = 36 - 30 + 4 = 10$. Координаты начальной точки графика: $(-6, 10)$.
  При $x = 3$: $y = 3^2 + 5(3) + 4 = 9 + 15 + 4 = 28$. Координаты конечной точки графика: $(3, 28)$.

3. Построение графика

Чтобы начертить график, необходимо:

1. Начертить систему координат $Oxy$.
2. Отметить найденные точки: $(-6, 10)$, $(-4, 0)$, $(-2.5, -2.25)$, $(-1, 0)$ и $(3, 28)$.
3. Соединить эти точки плавной кривой, помня, что это парабола с ветвями, направленными вверх.
4. График должен существовать только в пределах от $x=-6$ до $x=3$.

График будет представлять собой фрагмент параболы, который начинается в точке $(-6, 10)$, спускается до вершины в точке $(-2.5, -2.25)$, пересекая ось $x$ в точке $(-4, 0)$, а затем поднимается, пересекая ось $x$ в точке $(-1, 0)$ и заканчиваясь в точке $(3, 28)$.

Ответ: В качестве примера можно начертить график функции $y = x^2 + 5x + 4$ на отрезке $[-6, 3]$. Это будет часть параболы, которая проходит через точки $(-6, 10)$, $(-4, 0)$, $(-1, 0)$, $(3, 28)$ и имеет вершину в точке $(-2.5, -2.25)$.