Номер 4, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $[-3; 5]$, нулями которой являются числа $-2$ и $3$.

Задача состоит в том, чтобы начертить график функции $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

• Функция определена на отрезке $[-3; 5]$.
• Нулями функции (точками, где график пересекает ось абсцисс $Ox$) являются числа $x = -2$ и $x = 3$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. В качестве примера выберем самую простую из них — квадратичную функцию, график которой является параболой.

Если нули функции равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$, то ее можно задать формулой $y = a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставив наши значения, получим: $y = a(x - (-2))(x - 3) = a(x+2)(x-3)$.

Для простоты построения выберем коэффициент $a=1$. Тогда уравнение функции примет вид: $y = (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.

Теперь построим график функции $y = x^2 - x - 6$ на промежутке $[-3; 5]$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• Нули функции: точки пересечения с осью $Ox$. Они заданы в условии: $(-2; 0)$ и $(3; 0)$.
• Вершина параболы: Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для $y = x^2 - x - 6$ имеем $a=1, b=-1$, значит $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$. Ордината вершины: $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Координаты вершины: $(0.5; -6.25)$.
• Точка пересечения с осью Oy: Значение функции при $x=0$. $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка: $(0; -6)$.
• Значения на концах отрезка $[-3; 5]$:
  • При $x = -3$: $y = (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$. Точка: $(-3; 6)$.
  • При $x = 5$: $y = 5^2 - 5 - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$. Точка: $(5; 14)$.

Соединим эти точки плавной линией. Так как функция определена на отрезке $[-3; 5]$, график представляет собой часть параболы между точками $(-3; 6)$ и $(5; 14)$. Эти конечные точки включаются в график, поэтому на чертеже они будут закрашены.

Ответ: Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей условиям, представлен выше. Он соответствует функции $y=x^2-x-6$ на отрезке $[-3; 5]$.