Номер 3, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Найдите нули функции $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$.

Нули функции – это значения аргумента (в данном случае x), при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Приравниваем функцию к нулю и получаем квадратное уравнение:

$4x^2 - 5x + 1 = 0$

Данное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 4, b = -5, c = 1$

Способ 1: Через дискриминант

Найдем дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ (или 0,25)

Способ 2: Используя свойство коэффициентов

Заметим, что сумма коэффициентов в уравнении $4x^2 - 5x + 1 = 0$ равна нулю:

$a + b + c = 4 + (-5) + 1 = 0$

Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней всегда равен 1, то есть $x_1 = 1$.

Второй корень можно легко найти по теореме Виета, согласно которой произведение корней равно $\frac{c}{a}$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$1 \cdot x_2 = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Нулями функции являются числа 1 и 1/4.

Ответ: $1; \frac{1}{4}$.