Номер 3, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. На рисунке 10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-1)$ и $f(0)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -3$;

3) область значений функции.

Рис. 10

1) f(–1) и f(0);

Чтобы найти значение функции в точке по её графику, необходимо найти на оси $x$ (оси абсцисс) заданное значение аргумента, а затем найти соответствующую ему точку на графике. Ордината (координата $y$) этой точки и будет искомым значением функции.

Для нахождения $f(-1)$, находим на оси $x$ точку $x = -1$. Проводим от неё вертикальную линию вверх до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет координаты $(-1; 1)$. Таким образом, ордината равна 1, и $f(-1) = 1$.

Для нахождения $f(0)$, находим на оси $x$ точку $x = 0$ (начало координат). График пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; -1)$. Таким образом, ордината равна -1, и $f(0) = -1$.

Ответ: $f(-1) = 1$, $f(0) = -1$.

2) значения x, при которых f(x) = –3;

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) = -3$, нужно найти абсциссы всех точек графика, ордината которых равна $-3$. Для этого проведём горизонтальную прямую $y = -3$.

Эта прямая пересекает график функции в двух точках.

Чтобы найти значения $x$, соответствующие этим точкам, опустим из них перпендикуляры на ось $x$. Перпендикуляры указывают на значения $x = 1$ и $x = 3$.

Следовательно, $f(x) = -3$ при $x = 1$ и $x = 3$.

Ответ: $x = 1$, $x = 3$.

3) область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения (в данном случае на промежутке $[-4; 5]$). Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на этом промежутке.

Найдём самую низкую точку на графике в пределах заданной области определения. Это вершина параболического участка, её координаты $(2; -4)$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{min} = -4$.

Найдём самую высокую точку на графике. Сравнивая значения на концах промежутка ($f(-4)=2$, $f(5)=5$) и локальные максимумы (в точке $(-2;2)$), видим, что наибольшее значение достигается на правом конце области определения, в точке $(5; 5)$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{max} = 5$.

Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от $-4$ до $5$ включительно.

Ответ: $E(f) = [-4; 5]$.