Страница 34 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция $y = f(x)$ убывает на множестве действительных чисел. Укажите среди приведённых значений функции $f$ наибольшее.

1) $f\left(-\frac{1}{5}\right)$

2) $f\left(-\frac{1}{9}\right)$

3) $f\left(-\frac{1}{8}\right)$

4) $f\left(-\frac{1}{3}\right)$

По определению, функция $y = f(x)$ является убывающей на множестве действительных чисел, если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Это означает, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, чтобы найти наибольшее из предложенных значений функции, необходимо найти наименьшее значение аргумента.

Сравним аргументы, данные в вариантах ответа: $-\frac{1}{5}$, $-\frac{1}{9}$, $-\frac{1}{8}$ и $-\frac{1}{3}$.

Для сравнения этих отрицательных чисел удобно расположить их на числовой прямой. Чем левее находится число, тем оно меньше. Можно также сравнить их десятичные представления:

1) $-\frac{1}{5} = -0.2$
2) $-\frac{1}{9} \approx -0.111$
3) $-\frac{1}{8} = -0.125$
4) $-\frac{1}{3} \approx -0.333$

Сравнивая десятичные дроби, получаем неравенство:
$-0.333... < -0.2 < -0.125 < -0.111...$

Следовательно, в порядке возрастания аргументы располагаются так:
$-\frac{1}{3} < -\frac{1}{5} < -\frac{1}{8} < -\frac{1}{9}$

Наименьшим аргументом является $-\frac{1}{3}$. Так как функция $f(x)$ убывает, то наибольшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента. Таким образом, значение $f(-\frac{1}{3})$ является наибольшим среди приведённых.

Ответ: $f(-\frac{1}{3})$

2. Какая из данных функций является возрастающей?

1) $y = -\frac{6+x}{3}$

2) $y = \frac{7-x}{4}$

3) $y = -\frac{x+1}{2}$

4) $y = -\frac{2-x}{5}$

Чтобы определить, какая из данных функций является возрастающей, нужно привести каждую из них к виду линейной функции $y = kx + b$ и найти угловой коэффициент $k$. Функция является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$).

1) $y = -\frac{6+x}{3}$

Преобразуем выражение, чтобы выделить коэффициент при $x$:

$y = -(\frac{6}{3} + \frac{x}{3}) = -2 - \frac{1}{3}x$

В стандартном виде $y = kx + b$ это выглядит как $y = -\frac{1}{3}x - 2$.

Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \frac{7-x}{4}$

Преобразуем выражение:

$y = \frac{7}{4} - \frac{x}{4}$

В стандартном виде это $y = -\frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$.

Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

3) $y = -\frac{x+1}{2}$

Преобразуем выражение:

$y = -(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = -\frac{2-x}{5}$

Преобразуем выражение:

$y = -(\frac{2}{5} - \frac{x}{5}) = -\frac{2}{5} - (-\frac{x}{5}) = -\frac{2}{5} + \frac{x}{5}$

В стандартном виде это $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$.

Угловой коэффициент $k = \frac{1}{5}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

Таким образом, единственная возрастающая функция из предложенных — это функция под номером 4.

3. При каких значениях $a$ функция $y = x^2 + 2ax + a^2 - 7a + 2$ не имеет нулей?

Данная функция $y = x^2 + 2ax + a^2 - 7a + 2$ является квадратичной относительно переменной $x$. Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Таким образом, чтобы найти нули функции, необходимо решить квадратное уравнение $x^2 + 2ax + a^2 - 7a + 2 = 0$.

Функция не будет иметь нулей, если это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения является отрицательное значение его дискриминанта ($D < 0$).

Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты уравнения равны:
$A = 1$
$B = 2a$
$C = a^2 - 7a + 2$

Найдем дискриминант:
$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 7a + 2)$
$D = 4a^2 - 4(a^2 - 7a + 2)$
$D = 4a^2 - 4a^2 + 28a - 8$
$D = 28a - 8$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно параметра $a$:
$28a - 8 < 0$
Перенесем -8 в правую часть:
$28a < 8$
Разделим обе части на 28:
$a < \frac{8}{28}$
Сократим дробь на 4:
$a < \frac{2}{7}$

Следовательно, функция не имеет нулей при всех значениях $a$, которые меньше $\frac{2}{7}$. Это можно записать в виде интервала.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{2}{7})$

4. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $\$[-5; 4]\$, нулями которой являются числа $\$-4\$ и $\$-2\$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет трём условиям:

1. Функция определена на промежутке $[-5; 4]$. Это значит, что область определения функции $D(f) = [-5; 4]$. График будет существовать только для значений $x$ в этом диапазоне.
2. Нулями функции являются числа $-4$ и $-2$. Это означает, что $f(-4)=0$ и $f(-2)=0$. График функции должен пересекать ось абсцисс (ось $Ox$) в точках с координатами $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$.
3. Это может быть любая функция, удовлетворяющая первым двум условиям.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих данным условиям. Мы можем выбрать одну из самых простых для построения, например, кусочно-линейную функцию (график которой представляет собой ломаную линию).

Для построения графика зададим несколько ключевых точек, через которые он будет проходить, соблюдая все условия:

• Обязательные точки (нули функции): $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$.
• Зададим значения функции на концах промежутка. Пусть, например, $f(-5) = 2$ и $f(4) = 3$. Таким образом, мы получаем две крайние точки графика: $(-5; 2)$ и $(4; 3)$.
• Чтобы график не был тривиальным, добавим еще одну точку между нулями. Например, пусть у функции будет минимум в точке $(-3; -1)$.

Теперь у нас есть пять точек: $(-5; 2)$, $(-4; 0)$, $(-3; -1)$, $(-2; 0)$ и $(4; 3)$. Соединим эти точки последовательно отрезками прямых. Полученный график будет являться графиком функции, определённой на промежутке $[-5; 4]$, с нулями в точках $-4$ и $-2$.

Ниже представлен график этой функции.

Ответ: График, представленный выше, является одним из возможных решений. Это график кусочно-линейной функции, определённой на отрезке $[-5; 4]$, которая обращается в ноль при $x = -4$ и $x = -2$.

5. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $ [-5; 4] $, которая возрастает на промежутках $ [-5; -3] $ и $ [2; 4] $ и убывает на промежутке $ [-3; 2] $.

Согласно условию, необходимо построить график функции $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим требованиям:

• Область определения функции: $D(f) = [-5; 4]$.
• Функция возрастает на промежутках $[-5; -3]$ и $[2; 4]$.
• Функция убывает на промежутке $[-3; 2]$.

Проанализируем поведение функции на заданных промежутках:

1. На промежутке $[-5; -3]$ график должен идти вверх, так как функция возрастает. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) > f(x_1)$.
2. На промежутке $[-3; 2]$ график должен идти вниз, так как функция убывает. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$.
3. На промежутке $[2; 4]$ график снова должен идти вверх, так как функция возрастает.

Из этого следует, что в точке $x = -3$ происходит смена возрастания на убывание, следовательно, это точка локального максимума. А в точке $x = 2$ происходит смена убывания на возрастание, следовательно, это точка локального минимума.

Поскольку в задаче требуется начертить график какой-либо функции, удовлетворяющей этим условиям, мы можем построить простейший вариант – кусочно-линейную функцию. Для этого выберем конкретные значения функции в "узловых" точках $x = -5, x = -3, x = 2, x = 4$ и соединим их отрезками прямых.

Выберем значения функции в этих точках так, чтобы они удовлетворяли условиям возрастания и убывания:

• Пусть в начальной точке $x = -5$ значение функции будет $f(-5) = 0$.
• На отрезке $[-5; -3]$ функция возрастает, значит, $f(-3)$ должно быть больше $f(-5)$. Возьмем, к примеру, $f(-3) = 3$.
• На отрезке $[-3; 2]$ функция убывает, значит, $f(2)$ должно быть меньше $f(-3)$. Возьмем, к примеру, $f(2) = -2$.
• На отрезке $[2; 4]$ функция возрастает, значит, $f(4)$ должно быть больше $f(2)$. Возьмем, к примеру, $f(4) = 1$.

Таким образом, мы получили четыре ключевые точки для построения графика: $(-5; 0)$, $(-3; 3)$, $(2; -2)$ и $(4; 1)$. Построим график, соединив эти точки последовательно отрезками.

Ответ:

Пример графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, представлен ниже.