Страница 41 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. График какой из данных функций получим, если параллельно перенесём график функции $y = x^2$ на 8 единиц вправо?

1) $y = (x - 8)^2$

2) $y = (x + 8)^2$

3) $y = x^2 - 8$

4) $y = x^2 + 8$

Для решения этой задачи необходимо применить правило параллельного переноса графика функции вдоль оси абсцисс (горизонтальный сдвиг).

Общее правило гласит: чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вправо, необходимо в уравнении функции заменить аргумент $x$ на выражение $(x - a)$. Уравнение новой функции примет вид $y = f(x-a)$.

В нашем случае исходная функция — это $f(x) = x^2$. График этой функции необходимо перенести на 8 единиц вправо. Это значит, что величина сдвига $a = 8$.

Выполняем замену в исходном уравнении функции: $y = (x-8)^2$

Мы получили уравнение функции, график которой является результатом указанного преобразования. Теперь сравним его с предложенными вариантами.

1) $y = (x - 8)^2$
Это уравнение в точности совпадает с полученным нами. Оно соответствует сдвигу графика функции $y = x^2$ на 8 единиц вправо.

2) $y = (x + 8)^2$
Это уравнение соответствует сдвигу графика функции $y = x^2$ на 8 единиц влево.

3) $y = x^2 - 8$
Это уравнение соответствует сдвигу графика функции $y = x^2$ на 8 единиц вниз.

4) $y = x^2 + 8$
Это уравнение соответствует сдвигу графика функции $y = x^2$ на 8 единиц вверх.

Таким образом, правильный вариант ответа — первый.

Ответ: 1

2. Укажите координатную четверть, в которой находится
вершина параболы $y = (x + 3)^2 - 2$.

1) I четверть 3) III четверть
2) II четверть 4) IV четверть

Уравнение параболы $y = (x + 3)^2 - 2$ представлено в каноническом виде (или в форме с выделенным полным квадратом) $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где точка с координатами $(x_0, y_0)$ является вершиной параболы.

Чтобы найти координаты вершины для заданной параболы, сравним ее уравнение с канонической формой. Уравнение $y = (x + 3)^2 - 2$ можно переписать в виде $y = (x - (-3))^2 + (-2)$.

Отсюда следует, что абсцисса вершины $x_0 = -3$, а ордината вершины $y_0 = -2$. Таким образом, координаты вершины параболы — $(-3, -2)$.

Теперь определим, в какой координатной четверти находится эта точка. Вспомним знаки координат в каждой из четвертей:
• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Поскольку у вершины параболы обе координаты отрицательны ($x = -3 < 0$ и $y = -2 < 0$), она расположена в III координатной четверти.

Ответ: 3) III четверть

3. Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{8}{x-2}$;

2) $y = \frac{8-6x}{x}$.

Для решения задачи сначала рассмотрим базовую функцию $y = \frac{8}{x}$. Ее график — это гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как коэффициент $8 > 0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). Для построения можно найти несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

При $x>0$: (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1).

При $x<0$: (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1).

Построение графиков в подпунктах основано на преобразовании (сдвиге) этого базового графика.

1) $y = \frac{8}{x-2}$

График функции $y = \frac{8}{x-2}$ можно получить из графика функции $y = \frac{8}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига). Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-a)$. В данном случае $a=2$, что соответствует сдвигу графика базовой функции на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

При этом преобразовании все точки графика смещаются на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=0$ смещается вправо и становится прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.

Ответ: График функции $y = \frac{8}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{8}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

2) $y = \frac{8-6x}{x}$

Сначала преобразуем данную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{8-6x}{x} = \frac{8}{x} - \frac{6x}{x} = \frac{8}{x} - 6$.

Теперь видно, что график функции $y = \frac{8}{x} - 6$ можно получить из графика функции $y = \frac{8}{x}$ путем параллельного переноса. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x)+b$. В данном случае $b=-6$, что соответствует сдвигу графика базовой функции на 6 единиц вниз вдоль оси ординат (Oy).

При этом преобразовании все точки графика смещаются на 6 единиц вниз. Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается вниз и становится прямой $y=-6$.

Ответ: График функции $y = \frac{8-6x}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{8}{x}$ на 6 единиц вниз вдоль оси ординат.

4. Определите графически количество корней уравнения

$\sqrt{x+3} = 4 - x^2$.

Для того чтобы определить графически количество корней уравнения $\sqrt{x+3} = 4 - x^2$, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x+3}$ и $y = 4 - x^2$. Количество точек пересечения этих графиков и будет являться количеством корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x+3}$.
Это график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, который сдвинут на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). Область определения функции задается условием $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. График представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(-3; 0)$ и проходящую через точки, например, $(-2; 1)$ и $(1; 2)$.

2. Построим график функции $y = 4 - x^2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее график получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, то есть $4-x^2=0$, откуда $x = -2$ и $x = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Определим количество точек пересечения.
Совместим оба графика в одной системе координат. Поскольку левая часть уравнения ($\sqrt{x+3}$) не может быть отрицательной, нас интересуют только те точки пересечения, где ордината $y \ge 0$. Для параболы $y = 4-x^2$ это условие выполняется при $x \in [-2, 2]$.
Сравнивая поведение функций, видим, что:

• При $x=-2$, $y=\sqrt{x+3}=1$, а $y=4-x^2=0$. График корня выше.
• При $x=0$, $y=\sqrt{x+3}=\sqrt{3}\approx1.73$, а $y=4-x^2=4$. График параболы выше.
• При $x=2$, $y=\sqrt{x+3}=\sqrt{5}\approx2.24$, а $y=4-x^2=0$. График корня выше.

На интервале от -2 до 0 происходит одно пересечение, так как один график "обгоняет" другой. Аналогично, на интервале от 0 до 2 происходит второе пересечение. Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: 2.