Номер 3, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{8}{x-2}$;

2) $y = \frac{8-6x}{x}$.

Для решения задачи сначала рассмотрим базовую функцию $y = \frac{8}{x}$. Ее график — это гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как коэффициент $8 > 0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). Для построения можно найти несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

При $x>0$: (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1).

При $x<0$: (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1).

Построение графиков в подпунктах основано на преобразовании (сдвиге) этого базового графика.

1) $y = \frac{8}{x-2}$

График функции $y = \frac{8}{x-2}$ можно получить из графика функции $y = \frac{8}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига). Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-a)$. В данном случае $a=2$, что соответствует сдвигу графика базовой функции на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

При этом преобразовании все точки графика смещаются на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=0$ смещается вправо и становится прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.

Ответ: График функции $y = \frac{8}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{8}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

2) $y = \frac{8-6x}{x}$

Сначала преобразуем данную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{8-6x}{x} = \frac{8}{x} - \frac{6x}{x} = \frac{8}{x} - 6$.

Теперь видно, что график функции $y = \frac{8}{x} - 6$ можно получить из графика функции $y = \frac{8}{x}$ путем параллельного переноса. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x)+b$. В данном случае $b=-6$, что соответствует сдвигу графика базовой функции на 6 единиц вниз вдоль оси ординат (Oy).

При этом преобразовании все точки графика смещаются на 6 единиц вниз. Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается вниз и становится прямой $y=-6$.

Ответ: График функции $y = \frac{8-6x}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{8}{x}$ на 6 единиц вниз вдоль оси ординат.