Номер 4, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите графически уравнение $(x+3)^2 = -\frac{4}{x}$.

Для графического решения уравнения $(x+3)^2 = -\frac{4}{x}$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = (x+3)^2$ и $y = -\frac{4}{x}$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

График функции $y = (x+3)^2$ — это парабола, полученная сдвигом стандартной параболы $y = x^2$ на 3 единицы влево по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$, а ее ветви направлены вверх.

График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат.

Для точного построения графиков найдем координаты нескольких точек для каждой функции.
Точки для параболы $y = (x+3)^2$:
при $x = -5, y = (-5+3)^2 = 4$;
при $x = -4, y = (-4+3)^2 = 1$;
при $x = -3, y = (-3+3)^2 = 0$;
при $x = -2, y = (-2+3)^2 = 1$;
при $x = -1, y = (-1+3)^2 = 4$.

Точки для гиперболы $y = -\frac{4}{x}$:
при $x = -4, y = -\frac{4}{-4} = 1$;
при $x = -2, y = -\frac{4}{-2} = 2$;
при $x = -1, y = -\frac{4}{-1} = 4$.

Построив оба графика на одной координатной плоскости, мы находим их точки пересечения. Из вычисленных значений и по виду графиков видно, что они имеют две общие точки: $(-4, 1)$ и $(-1, 4)$. Абсциссы этих точек и являются решениями данного уравнения.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -1$.