Страница 40 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. График какой из данных функций получим, если параллельно перенесём график функции $y = x^2$ на 9 единиц вверх?

1) $y = (x + 9)^2$

2) $y = (x - 9)^2$

3) $y = x^2 + 9$

4) $y = x^2 - 9$

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) осуществляется путем прибавления или вычитания константы из всей функции.

Правило гласит:

• Чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц вверх, нужно получить функцию $y = f(x) + c$.
• Чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц вниз, нужно получить функцию $y = f(x) - c$.

В нашей задаче дана исходная функция $y = x^2$. Требуется выполнить параллельный перенос ее графика на 9 единиц вверх.

Согласно правилу, для сдвига вверх на 9 единиц, мы должны прибавить 9 к функции $x^2$. Таким образом, искомая функция будет:

$y = x^2 + 9$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов:

1) $y = (x + 9)^2$ — график этой функции получается сдвигом графика $y = x^2$ на 9 единиц влево вдоль оси Ox.

2) $y = (x - 9)^2$ — график этой функции получается сдвигом графика $y = x^2$ на 9 единиц вправо вдоль оси Ox.

3) $y = x^2 + 9$ — график этой функции получается сдвигом графика $y = x^2$ на 9 единиц вверх вдоль оси Oy.

4) $y = x^2 - 9$ — график этой функции получается сдвигом графика $y = x^2$ на 9 единиц вниз вдоль оси Oy.

Следовательно, правильным является вариант под номером 3.

Ответ: 3

2. Каковы координаты вершины параболы $y = (x - 10)^2 + 6$?

1) $(-10; -6)$

2) $(10; 6)$

3) $(-10; 6)$

4) $(10; -6)$

Уравнение параболы в вершинной форме имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где точка с координатами $(h; k)$ является вершиной параболы.

Нам дано уравнение $y = (x - 10)^2 + 6$.

Сравним это уравнение со стандартной формой. В данном уравнении:

• Выражение в скобках имеет вид $(x - h)$, что в нашем случае соответствует $(x - 10)$. Отсюда следует, что абсцисса вершины $h = 10$.
• Свободный член, добавленный к квадрату скобки, это $k$. В нашем случае он равен $6$, то есть ордината вершины $k = 6$.

Таким образом, координаты вершины параболы $(h; k)$ равны $(10; 6)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $(10; 6)$

3. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} - 6$;

2) $y = \sqrt{x - 6}$.

Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, начинающаяся в начале координат. Область определения функции: $x \ge 0$, область значений: $y \ge 0$.

Для построения найдем несколько ключевых точек, принадлежащих графику:

• при $x=0, y=\sqrt{0}=0$ — точка (0; 0)
• при $x=1, y=\sqrt{1}=1$ — точка (1; 1)
• при $x=4, y=\sqrt{4}=2$ — точка (4; 2)
• при $x=9, y=\sqrt{9}=3$ — точка (9; 3)

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученный график является графиком функции $y = \sqrt{x}$. Теперь, используя этот график, построим графики заданных функций.

1) Для построения графика функции $y = \sqrt{x} - 6$ используется правило преобразования графиков $y = f(x) + c$. Это преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $c$ единиц.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $c = -6$. Поскольку $c < 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 6 единиц вниз. Каждая точка исходного графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 6)$. Например, начальная точка (0; 0) переместится в точку (0; -6), точка (1; 1) — в точку (1; -5), и так далее.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 6$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 6 единиц вниз вдоль оси Oy.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{x - 6}$ используется правило преобразования графиков $y = f(x - c)$. Это преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $c$ единиц.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $c = 6$. Поскольку $c > 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 6 единиц вправо. Каждая точка исходного графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0 + 6, y_0)$. Например, начальная точка (0; 0) переместится в точку (6; 0), точка (1; 1) — в точку (7; 1), и так далее. Область определения новой функции — $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$, что подтверждает сдвиг вправо.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 6}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 6 единиц вправо вдоль оси Ox.

4. Решите графически уравнение $(x+3)^2 = -\frac{4}{x}$.

Для графического решения уравнения $(x+3)^2 = -\frac{4}{x}$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = (x+3)^2$ и $y = -\frac{4}{x}$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

График функции $y = (x+3)^2$ — это парабола, полученная сдвигом стандартной параболы $y = x^2$ на 3 единицы влево по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$, а ее ветви направлены вверх.

График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат.

Для точного построения графиков найдем координаты нескольких точек для каждой функции.
Точки для параболы $y = (x+3)^2$:
при $x = -5, y = (-5+3)^2 = 4$;
при $x = -4, y = (-4+3)^2 = 1$;
при $x = -3, y = (-3+3)^2 = 0$;
при $x = -2, y = (-2+3)^2 = 1$;
при $x = -1, y = (-1+3)^2 = 4$.

Точки для гиперболы $y = -\frac{4}{x}$:
при $x = -4, y = -\frac{4}{-4} = 1$;
при $x = -2, y = -\frac{4}{-2} = 2$;
при $x = -1, y = -\frac{4}{-1} = 4$.

Построив оба графика на одной координатной плоскости, мы находим их точки пересечения. Из вычисленных значений и по виду графиков видно, что они имеют две общие точки: $(-4, 1)$ и $(-1, 4)$. Абсциссы этих точек и являются решениями данного уравнения.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -1$.