Страница 47 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $2x - x^2 \le 0$.

1) $0 \le x \le 2$

2) $x \le 0$ или $x \ge 2$

3) $x \ge 2$

4) $x \le 0$

1.

Для решения заданного квадратного неравенства $2x - x^2 \le 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых левая часть неравенства будет меньше или равна нулю. Для этого воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x - x^2 = 0$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобку:

$x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

$2 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $2x - x^2$ на каждом из этих интервалов. Функция $y = 2x - x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, равен -1). Это означает, что функция принимает положительные значения между корнями и отрицательные значения за пределами корней.

• На интервале $(-\infty; 0)$ функция $y < 0$.
• На интервале $(0; 2)$ функция $y > 0$.
• На интервале $(2; +\infty)$ функция $y < 0$.

Нас интересует, где $2x - x^2 \le 0$. Это соответствует тем промежуткам, где функция отрицательна или равна нулю. Следовательно, решением являются промежутки $x \le 0$ и $x \ge 2$.

Объединив эти промежутки, получим множество решений: $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Среди предложенных рисунков этому множеству соответствует рисунок под номером 2, на котором заштрихованы области слева от точки 0 и справа от точки 2, включая сами точки.

Ответ: 2

2. Укажите множество решений неравенства $x^2 - 81 > 0$.

1) $(9; +\infty)$

2) $(-\infty; -9) \cup (9; +\infty)$

3) $(-9; 9)$

4) $(-\infty; -9)$

Чтобы решить неравенство $x^2 - 81 > 0$, мы сначала рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 81 = 0$, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак.

Перенесем 81 в правую часть:
$x^2 = 81$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{81}$
$x_1 = 9$, $x_2 = -9$

Эти два корня, -9 и 9, разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 9)$ и $(9; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $x^2 - 81$ на каждом из этих интервалов. Это можно сделать, проанализировав график функции $y = x^2 - 81$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -9$ и $x = 9$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции будут положительными (то есть, график будет находиться выше оси x) на интервалах, расположенных по обе стороны от корней. Следовательно, неравенство $x^2 - 81 > 0$ выполняется, когда $x < -9$ или $x > 9$.

В виде множества решений это записывается как объединение двух интервалов: $(-\infty; -9) \cup (9; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $(-\infty; -9) \cup (9; +\infty)$

3. Решите неравенство:

1) $x^2 + 7x - 8 > 0$;

2) $3x^2 - 4x + 2 < 0$;

3) $(2x - 1)^2 \leq (x - 1)(x + 7) + 5$.

1) $x^2 + 7x - 8 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: $x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$, что дает те же корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Квадратичная функция $y = x^2 + 7x - 8$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=1 > 0$).

Следовательно, функция принимает положительные значения на интервалах левее меньшего корня ($-8$) и правее большего корня ($1$).

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 7x - 8 > 0$ есть объединение интервалов $x < -8$ и $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$.

2) $3x^2 - 4x + 2 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 4x + 2$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 2 = 0$:

$a = 3, b = -4, c = 2$

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 3x^2 - 4x + 2$ не пересекает ось Ox.

Коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 3 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Это означает, что вся парабола находится выше оси Ox, и значение выражения $3x^2 - 4x + 2$ всегда положительно при любом значении $x$.

Неравенство $3x^2 - 4x + 2 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным, что невозможно.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

3) $(2x - 1)^2 \leq (x - 1)(x + 7) + 5$

Сначала преобразуем неравенство, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Раскроем квадрат разности в левой части и произведение скобок в правой части:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 \leq x^2 + 7x - x - 7 + 5$

$4x^2 - 4x + 1 \leq x^2 + 6x - 2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$4x^2 - x^2 - 4x - 6x + 1 + 2 \leq 0$

$3x^2 - 10x + 3 \leq 0$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$a = 3, b = -10, c = 3$

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 3 > 0$).

Следовательно, функция принимает неположительные значения ($ \leq 0 $) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть отрезок $[\frac{1}{3}; 3]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 3]$.

4. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{14 + 5x - x^2}} + \frac{1}{x - 6}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция является суммой двух слагаемых, поэтому ее область определения будет пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Функция задана формулой: $y = \frac{1}{\sqrt{14 + 5x - x^2}} + \frac{1}{x - 6}$.

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе первого слагаемого, должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя, и извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.

$14 + 5x - x^2 > 0$

2. Знаменатель второго слагаемого не должен быть равен нулю.

$x - 6 \neq 0$

Таким образом, мы получаем систему из двух условий:

$\begin{cases} 14 + 5x - x^2 > 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $14 + 5x - x^2 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5x - 14 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Воспользуемся теоремой Виета или формулой корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 - 5x - 14$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 < 0$ выполняется между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-2, 7)$.

Теперь рассмотрим второе условие системы: $x - 6 \neq 0$, что означает $x \neq 6$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо найти пересечение решений двух условий: $x \in (-2, 7)$ и $x \neq 6$.

Исключаем точку $x=6$ из интервала $(-2, 7)$. В результате получаем объединение двух интервалов: $(-2, 6)$ и $(6, 7)$.

Ответ: $x \in (-2, 6) \cup (6, 7)$.

5. Найдите целые решения системы неравенств

$\begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0, \\ 2x - 1 > 0. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Для этого найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $x^2 + x - 6 \le 0$ выполняется для всех $x$ между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-3, 2]$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 1 > 0$.

Это линейное неравенство.
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
$x > 0.5$
Решение второго неравенства: $x \in (0.5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений системы.

Нам необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $x \in [-3, 2]$ и $x \in (0.5, +\infty)$.
Пересечением этих двух интервалов является полуинтервал $(0.5, 2]$.

4. Найдем целые решения.

Согласно условию, необходимо найти все целые числа, которые принадлежат промежутку $(0.5, 2]$.
Целыми числами, которые больше 0.5 и меньше либо равны 2, являются 1 и 2.

Ответ: 1; 2.