Номер 1, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $2x - x^2 \le 0$.

1) $0 \le x \le 2$

2) $x \le 0$ или $x \ge 2$

3) $x \ge 2$

4) $x \le 0$

1.

Для решения заданного квадратного неравенства $2x - x^2 \le 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых левая часть неравенства будет меньше или равна нулю. Для этого воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x - x^2 = 0$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобку:

$x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

$2 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $2x - x^2$ на каждом из этих интервалов. Функция $y = 2x - x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, равен -1). Это означает, что функция принимает положительные значения между корнями и отрицательные значения за пределами корней.

• На интервале $(-\infty; 0)$ функция $y < 0$.
• На интервале $(0; 2)$ функция $y > 0$.
• На интервале $(2; +\infty)$ функция $y < 0$.

Нас интересует, где $2x - x^2 \le 0$. Это соответствует тем промежуткам, где функция отрицательна или равна нулю. Следовательно, решением являются промежутки $x \le 0$ и $x \ge 2$.

Объединив эти промежутки, получим множество решений: $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Среди предложенных рисунков этому множеству соответствует рисунок под номером 2, на котором заштрихованы области слева от точки 0 и справа от точки 2, включая сами точки.

Ответ: 2