Номер 3, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $x^2 + 8x - 9 < 0;$

2) $2x^2 - 6x + 5 > 0;$

3) $(2x + 3)^2 \geq (x + 2)(x - 8) + 10.$

1) $x^2 + 8x - 9 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$

Графиком функции $y = x^2 + 8x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 8x - 9 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-9 < x < 1$.

Ответ: $(-9; 1)$.

2) $2x^2 - 6x + 5 > 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 6x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = 2x^2 - 6x + 5$ (парабола) не пересекает ось Ox.

Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля ($a=2 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что вся парабола расположена выше оси Ox.

Следовательно, выражение $2x^2 - 6x + 5$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $(2x + 3)^2 \geq (x + 2)(x - 8) + 10$

Сначала упростим неравенство. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Правая часть: $(x + 2)(x - 8) + 10 = (x^2 - 8x + 2x - 16) + 10 = x^2 - 6x - 6$.

Неравенство принимает вид: $4x^2 + 12x + 9 \geq x^2 - 6x - 6$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2) + (12x + 6x) + (9 + 6) \geq 0$

$3x^2 + 18x + 15 \geq 0$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не изменится):

$x^2 + 6x + 5 \geq 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$ (так как $x_1 + x_2 = -5 + (-1) = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-1) = 5$).

Графиком функции $y = x^2 + 6x + 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 6x + 5 \geq 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на участках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение: $x \leq -5$ или $x \geq -1$.

Ответ: $(-\infty; -5] \cup [-1; +\infty)$.