Номер 4, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{28 + 3x - x^2}} + \frac{1}{x - 5}.$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция является суммой двух дробей, поэтому для нахождения ее области определения необходимо, чтобы знаменатель каждой дроби не был равен нулю, а подкоренное выражение было неотрицательным.

Рассмотрим два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{28 + 3x - x^2}}$ знаменатель не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Объединяя эти два требования, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$28 + 3x - x^2 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства умножим его на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 28 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{2} = 7$

Так как мы решаем неравенство $x^2 - 3x - 28 < 0$, и ветви параболы направлены вверх, решением является интервал между корнями: $x \in (-4; 7)$.

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{x - 5}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 5 \neq 0$

$x \neq 5$

Область определения исходной функции — это пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям. Таким образом, мы должны найти все значения $x$ из интервала $(-4; 7)$, которые не равны 5.

$\begin{cases} -4 < x < 7 \\ x \neq 5 \end{cases}$

Исключая точку $x = 5$ из интервала $(-4; 7)$, получаем объединение двух интервалов: $(-4; 5)$ и $(5; 7)$.

Ответ: $x \in (-4; 5) \cup (5; 7)$