Номер 4, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{6-3x}} + \sqrt{48+2x-x^2}$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 3x}} + \sqrt{48 + 2x - x^2}$ является суммой двух слагаемых, поэтому для нахождения ее области определения необходимо найти множество значений $x$, при которых оба слагаемых существуют. Это приводит к системе из двух условий.

1. Рассмотрим первое слагаемое $\frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}$.

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (больше нуля), так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено, и деление на ноль недопустимо.

Получаем неравенство:

$6 - 3x > 0$

$-3x > -6$

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x < \frac{-6}{-3}$

$x < 2$

2. Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{48 + 2x - x^2}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Получаем неравенство:

$48 + 2x - x^2 \ge 0$

Для удобства решения умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 48 \le 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -48. Подбором находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -6$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 2x - 48 \le 0$ есть отрезок $[-6; 8]$, то есть $-6 \le x \le 8$.

3. Найдем пересечение решений.

Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x < 2 \\ -6 \le x \le 8 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков $(-\infty; 2)$ и $[-6; 8]$.

Таким образом, получаем промежуток $[-6; 2)$.

Ответ: $x \in [-6; 2)$.