Номер 3, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $9x^2 + 26x - 3 < 0;$

2) $-4x^2 - 2x - 5 > 0;$

3) $(x+7)(x-4) - (3-x)(3+x) \ge -32.$

1) Для решения квадратичного неравенства $9x^2 + 26x - 3 < 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $9x^2 + 26x - 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 26^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3) = 676 + 108 = 784$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{784} = 28$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-26 - 28}{2 \cdot 9} = \frac{-54}{18} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-26 + 28}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Графиком функции $y = 9x^2 + 26x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=9>0$). Неравенство принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-3; \frac{1}{9})$.
Ответ: $(-3; \frac{1}{9})$

2) Рассмотрим неравенство $-4x^2 - 2x - 5 > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$4x^2 + 2x + 5 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 2x + 5 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 4 - 80 = -76$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = 4x^2 + 2x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$), и она полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $4x^2 + 2x + 5$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.
Поскольку мы ищем значения $x$, при которых $4x^2 + 2x + 5 < 0$, а это выражение всегда больше нуля, то неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

3) Рассмотрим неравенство $(x + 7)(x - 4) - (3 - x)(3 + x) \ge -32$.
Упростим левую часть неравенства, раскрыв скобки. Для второго произведения используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(x^2 - 4x + 7x - 28) - (3^2 - x^2) \ge -32$
$(x^2 + 3x - 28) - (9 - x^2) \ge -32$
$x^2 + 3x - 28 - 9 + x^2 \ge -32$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 3x - 37 \ge -32$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2x^2 + 3x - 37 + 32 \ge 0$
$2x^2 + 3x - 5 \ge 0$
Теперь решим полученное квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{49} = 7$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $x \le -2.5$ или $x \ge 1$.
Ответ: $(-\infty; -2.5] \cup [1; \infty)$