Номер 2, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите решения системы уравнений

$\begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - 2xy = 3. \end{cases}$

1) $(1; -1), (-3; -1)$

2) $(-1; 1), (-1; -3)$

3) $(1; -1), (-1; -3)$

4) $(-1; 1), (-3; -1)$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

$\begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - 2xy = 3. \end{cases}$

1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения

Из уравнения $x - y = 2$ получаем:

$x = y + 2$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение

Подставим $x = y + 2$ в уравнение $y^2 - 2xy = 3$:

$y^2 - 2(y + 2)y = 3$

3. Решим полученное уравнение относительно $y$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 2y^2 - 4y = 3$

$-y^2 - 4y - 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$y^2 + 4y + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$

4. Найдем соответствующие значения $x$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = y + 2$.

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 2 = 1$.

Первое решение системы: $(1; -1)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$.

Второе решение системы: $(-1; -3)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; -1), (-1; -3)$