Номер 1, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 21 изображены графики уравнений $y + x^2 + 4x + 4 = 0$, $x + y = -4$, $x + y = 0$, $y - 2x = 1$, $y - 2x = -4$.

Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = 1 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = -4 \end{cases}$

Рис. 21

Решение системы уравнений графическим методом заключается в нахождении точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему. Если графики не имеют общих точек (не пересекаются), то система не имеет решений. Нам нужно найти такую систему среди предложенных вариантов.

Первое уравнение во всех системах одинаково: $y + x^2 + 4x + 4 = 0$. Преобразуем его, чтобы определить вид графика:

$y = -x^2 - 4x - 4$

$y = -(x^2 + 4x + 4)$

$y = -(x+2)^2$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами $(-2, 0)$. Эта парабола изображена на рисунке.

Теперь последовательно рассмотрим каждую систему.

1) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = -x - 4$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Значит, система имеет два решения.

2) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = 1 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = 2x + 1$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Значит, система имеет два решения.

3) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = -x$. На графике видно, что эта прямая не пересекается с параболой. Проверим это аналитически. Для этого приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:

$-(x+2)^2 = -x$

$- (x^2 + 4x + 4) = -x$

$-x^2 - 4x - 4 = -x$

$x^2 + 3x + 4 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что у графиков нет точек пересечения. Следовательно, эта система не имеет решений.

4) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = -4 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = 2x - 4$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Значит, система имеет два решения.

Вывод: единственная система уравнений, не имеющая решений, — та, что предложена в пункте 3.

Ответ: 3