Номер 1, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 22 изображены графики уравнений $y + x^2 - 2x + 1 = 0$, $2x + y = -5$, $2x + y = -3$, $x + y = 0$, $x - y = 0$.

Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Рис. 22

Геометрически решение системы уравнений — это координаты точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Если графики не пересекаются, то система не имеет решений. Задача состоит в том, чтобы, используя данный рисунок, найти пару графиков, которые не имеют общих точек.

Сначала определим, какой график какому уравнению соответствует.

• $y + x^2 - 2x + 1 = 0$. Перепишем это уравнение в виде $y = -x^2 + 2x - 1$. Выделив полный квадрат, получим $y = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вниз. На рисунке это единственная кривая линия.
• $2x + y = -5 \implies y = -2x - 5$. Это прямая. На рисунке это самая нижняя из всех прямых.
• $2x + y = -3 \implies y = -2x - 3$. Это прямая, параллельная предыдущей, но расположенная выше.
• $x + y = 0 \implies y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат и II и IV координатные четверти.
• $x - y = 0 \implies y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат и I и III координатные четверти.

Теперь рассмотрим каждую из предложенных систем:

1) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -5 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = -2x - 5$. На рисунке 22 видно, что эти два графика не пересекаются. Следовательно, данная система не имеет решений.

2) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -3 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = -2x - 3$. На рисунке видно, что графики пересекаются в двух точках. Система имеет два решения.

3) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = -x$. На рисунке видно, что графики пересекаются в двух точках. Система имеет два решения.

4) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = x$. На рисунке видно, что графики пересекаются в двух точках. Система имеет два решения.

Таким образом, единственная система, которая не имеет решений, — это система под номером 1.
Ответ: 1