Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 22 изображены графики уравнений $y + x^2 - 2x + 1 = 0$, $2x + y = -5$, $2x + y = -3$, $x + y = 0$, $x - y = 0$.

Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Рис. 22

Геометрически решение системы уравнений — это координаты точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Если графики не пересекаются, то система не имеет решений. Задача состоит в том, чтобы, используя данный рисунок, найти пару графиков, которые не имеют общих точек.

Сначала определим, какой график какому уравнению соответствует.

• $y + x^2 - 2x + 1 = 0$. Перепишем это уравнение в виде $y = -x^2 + 2x - 1$. Выделив полный квадрат, получим $y = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вниз. На рисунке это единственная кривая линия.
• $2x + y = -5 \implies y = -2x - 5$. Это прямая. На рисунке это самая нижняя из всех прямых.
• $2x + y = -3 \implies y = -2x - 3$. Это прямая, параллельная предыдущей, но расположенная выше.
• $x + y = 0 \implies y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат и II и IV координатные четверти.
• $x - y = 0 \implies y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат и I и III координатные четверти.

Теперь рассмотрим каждую из предложенных систем:

1) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -5 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = -2x - 5$. На рисунке 22 видно, что эти два графика не пересекаются. Следовательно, данная система не имеет решений.

2) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ 2x + y = -3 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = -2x - 3$. На рисунке видно, что графики пересекаются в двух точках. Система имеет два решения.

3) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = -x$. На рисунке видно, что графики пересекаются в двух точках. Система имеет два решения.

4) $\begin{cases} y + x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует параболе и прямой $y = x$. На рисунке видно, что графики пересекаются в двух точках. Система имеет два решения.

Таким образом, единственная система, которая не имеет решений, — это система под номером 1.
Ответ: 1

2. Укажите решения системы уравнений $ \begin{cases} y^2 + xy = 6, \\ x + 3y = -8. \end{cases} $

1) $(5; 1)$, $(1; -3)$

2) $(-5; 1)$, $(-1; 3)$

3) $(-5; -1)$, $(1; -3)$

4) $(5; -1)$, $(-1; 3)$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

Разделим все члены уравнения на $-2$, чтобы упростить его:

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Этим условиям удовлетворяют числа $-1$ и $-3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = -8 - 3y$:

1. При $y_1 = -1$:

Получаем первую пару решений: $(-5; -1)$.

2. При $y_2 = -3$:

Получаем вторую пару решений: $(1; -3)$.

Таким образом, решениями системы являются пары $(-5; -1)$ и $(1; -3)$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $(-5; -1), (1; -3)$

3. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x - y = 5. \end{cases} $

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность. Это стандартное уравнение окружности с центром в начале координат, в точке $(0, 0)$, и радиусом $r$, где $r^2=25$. Следовательно, радиус окружности $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $x - y = 5$ является линейным, его график — прямая. Для удобства построения выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Для построения прямой найдем две точки, через которые она проходит. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат:

При $x = 0$, получаем $y = 0 - 5 = -5$. Таким образом, одна точка — $(0, -5)$.

При $y = 0$, получаем $0 = x - 5$, откуда $x = 5$. Вторая точка — $(5, 0)$.

Построим окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом 5 и прямую, проходящую через точки $(0, -5)$ и $(5, 0)$.

Нанеся оба графика на координатную плоскость, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы. Точки пересечения — это $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

Ответ: $(5, 0)$, $(0, -5)$.

4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 2xy = 6, \\ y - 2xy = -15; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{24}{5}, \\ 2x + 3y = 26. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 2xy = 6 \\ y - 2xy = -15 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы. Это позволит нам избавиться от члена $2xy$:
$(3x + 2xy) + (y - 2xy) = 6 + (-15)$
$3x + y = -9$

Из полученного уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -9 - 3x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы:
$3x + 2x(-9 - 3x) = 6$
$3x - 18x - 6x^2 = 6$
$-6x^2 - 15x - 6 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на -3:
$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя ранее выведенную формулу $y = -9 - 3x$:
1. При $x_1 = -0.5$, $y_1 = -9 - 3(-0.5) = -9 + 1.5 = -7.5$.
2. При $x_2 = -2$, $y_2 = -9 - 3(-2) = -9 + 6 = -3$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-0.5; -7.5)$, $(-2; -3)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{24}{5} \\ 2x + 3y = 26 \end{cases} $

Область допустимых значений переменных: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{24}{5}$

Используя основное свойство пропорции, получим:
$5(x^2 - y^2) = 24xy$
$5x^2 - 5y^2 - 24xy = 0$
$5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разделим обе его части на $y^2$ (это допустимо, так как $y \neq 0$):
$5(\frac{x}{y})^2 - 24(\frac{x}{y}) - 5 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение примет вид:
$5t^2 - 24t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2$

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
$t_2 = \frac{24 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2$

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два возможных случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 5$, откуда $x = 5y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 3y = 26$:
$2(5y) + 3y = 26$
$10y + 3y = 26$
$13y = 26 \implies y = 2$
Теперь найдем $x$: $x = 5 \cdot 2 = 10$.
Первое решение: $(10; 2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -0.2$, откуда $x = -0.2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 3y = 26$:
$2(-0.2y) + 3y = 26$
$-0.4y + 3y = 26$
$2.6y = 26 \implies y = 10$
Теперь найдем $x$: $x = -0.2 \cdot 10 = -2$.
Второе решение: $(-2; 10)$.

Ответ: $(10; 2)$, $(-2; 10)$.