Страница 61 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вкладчик положил в банк 45 000 р. под 6 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 5 лет, если никаких операций со счётом, кроме ежегодного начисления процентов, проводиться не будет?

1) $45\ 000 \cdot 0,06^5$

2) $45\ 000 \cdot 1,6^5$

3) $45\ 000 \cdot 1,06^5$

4) $45\ 000 \cdot 1,06^4$

1. Это задача на расчёт сложных процентов. Формула для вычисления суммы на счёте через $n$ лет при ежегодном начислении процентов выглядит следующим образом:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

где:

• $S_n$ — итоговая сумма на счёте через $n$ лет,
• $S_0$ — первоначальная сумма вклада,
• $r$ — годовая процентная ставка,
• $n$ — количество лет.

Подставим в формулу значения из условия задачи:

• $S_0 = 45\,000$ рублей
• $r = 6$ %
• $n = 5$ лет

Получаем выражение:

$S_5 = 45\,000 \cdot (1 + \frac{6}{100})^5$

Упростим выражение в скобках:

$S_5 = 45\,000 \cdot (1 + 0,06)^5$

$S_5 = 45\,000 \cdot (1,06)^5$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 3. Теперь вычислим итоговую сумму:

$1,06^5 \approx 1,3382255776$

$S_5 \approx 45\,000 \cdot 1,3382255776 \approx 60\,220,15$ рублей.

Таким образом, через 5 лет на счёте будет приблизительно 60 220,15 рублей, что вычисляется по формуле $45\,000 \cdot 1,06^5$.

Ответ: $45\,000 \cdot 1,06^5$

2. Товар на распродаже уценили на 50 %, в результате он стал стоить 640 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

1) 320 р.

2) 960 р.

3) 1280 р.

4) 1920 р.

Пусть $x$ — это первоначальная цена товара до распродажи в рублях.

Цена товара была снижена на 50%. Это означает, что новая цена составляет $100\% - 50\% = 50\%$ от первоначальной цены.

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, разделим их на 100: $50\% = \frac{50}{100} = 0.5$.

Таким образом, новая цена товара составляет $0.5 \times x$.

Из условия задачи известно, что новая цена равна 640 рублей. Мы можем составить уравнение:

$0.5x = 640$

Чтобы найти первоначальную цену $x$, нужно разделить новую цену на долю, которую она составляет от первоначальной:

$x = \frac{640}{0.5}$

Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:

$x = 640 \times 2 = 1280$

Значит, до распродажи товар стоил 1280 рублей.

Ответ: 1280 р.

3. В октябре 1 кг яблок стоил 80 р. В ноябре яблоки подорожали на $30\%$, а в декабре — ещё на $25\%$. Сколько рублей стоил 1 кг яблок после подорожания в декабре?

Для решения этой задачи необходимо пошагово рассчитать стоимость яблок после каждого подорожания.

1. Расчет цены в ноябре.
Изначальная цена 1 кг яблок составляла 80 рублей. В ноябре она выросла на 30%.
Чтобы найти новую цену, нужно к исходной цене прибавить 30% от неё. Сначала вычислим, на сколько рублей подорожали яблоки:
$80 \cdot \frac{30}{100} = 80 \cdot 0,3 = 24$ рубля.
Теперь прибавим эту сумму к октябрьской цене, чтобы узнать ноябрьскую:
$80 + 24 = 104$ рубля.
Таким образом, в ноябре 1 кг яблок стоил 104 рубля.

2. Расчет цены в декабре.
В декабре яблоки подорожали еще на 25%, но уже от ноябрьской цены. Теперь за 100% мы принимаем цену в 104 рубля.
Вычислим величину второго подорожания:
$104 \cdot \frac{25}{100} = 104 \cdot 0,25 = 26$ рублей.
Прибавим эту сумму к ноябрьской цене, чтобы узнать итоговую цену в декабре:
$104 + 26 = 130$ рублей.

Задачу также можно решить одним выражением, умножая начальную цену на коэффициенты, соответствующие увеличению цены. Увеличение на 30% — это умножение на $1,3$, а увеличение на 25% — это умножение на $1,25$.
Итоговая цена: $80 \cdot 1,3 \cdot 1,25 = 104 \cdot 1,25 = 130$ рублей.

Ответ: 130 рублей.

4. После двух последовательных повышений цены на 20 % некоторый товар стал стоить 540 р. Найдите первоначальную цену товара.

Пусть первоначальная цена товара равна $x$ рублей.

Первое повышение цены было на 20%. Новая цена стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. Чтобы выразить это математически, умножим первоначальную цену на коэффициент 1,2:

Цена после первого повышения: $P_1 = x \cdot (1 + 0,20) = 1,2x$.

Второе повышение цены также составило 20%, но оно рассчитывалось уже от новой, повышенной цены $P_1$. Таким образом, итоговая цена составит 120% от цены $P_1$:

Цена после второго повышения: $P_2 = P_1 \cdot 1,2 = (1,2x) \cdot 1,2 = 1,44x$.

Согласно условию, итоговая цена товара составила 540 рублей. Мы можем составить и решить уравнение:

$1,44x = 540$

$x = \frac{540}{1,44}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{54000}{144}$

$x = 375$

Следовательно, первоначальная цена товара была 375 рублей.

Ответ: 375 р.

5. Имеется 2 кг 20%-ного раствора соли. Сколько килограммов воды необходимо долить в этот раствор, чтобы получить 5%-ный раствор соли?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: сначала определить массу чистого вещества (соли) в исходном растворе, а затем рассчитать, сколько воды нужно добавить, чтобы концентрация этого вещества в новом, увеличенном объеме раствора, стала равной 5%.

1. Находим массу соли в исходном растворе.

Масса всего раствора составляет 2 кг, а концентрация соли в нем — 20%. Чтобы найти массу соли, нужно массу раствора умножить на концентрацию, выраженную в долях.

$m_{соли} = 2 \text{ кг} \cdot 20\% = 2 \cdot 0.20 = 0.4 \text{ кг}$

Таким образом, в исходном растворе содержится 0.4 кг соли.

2. Составляем уравнение для нового раствора.

При добавлении воды масса соли в растворе не меняется и остается равной 0.4 кг. Пусть $x$ — это масса воды (в кг), которую необходимо долить. Тогда новая масса всего раствора станет $(2 + x)$ кг. Концентрация соли в новом растворе должна составить 5%.

Формула концентрации: $C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$

Подставим известные и искомые значения в формулу:

$5\% = \frac{0.4 \text{ кг}}{2 + x \text{ кг}}$

3. Решаем уравнение.

Переведем проценты в доли ($5\% = 0.05$) и решим уравнение относительно $x$:

$0.05 = \frac{0.4}{2 + x}$

Умножим обе части уравнения на $(2 + x)$:

$0.05 \cdot (2 + x) = 0.4$

$0.1 + 0.05x = 0.4$

$0.05x = 0.4 - 0.1$

$0.05x = 0.3$

$x = \frac{0.3}{0.05}$

$x = 6$

Следовательно, чтобы получить 5%-ный раствор, необходимо долить 6 кг воды.

Ответ: 6 кг.