Страница 63 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 8 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 3 года, если никаких операций со счётом, кроме ежегодного начисления процентов, проводиться не будет?

1) $40\,000 \cdot 1,8^3$

2) $40\,000 \cdot 1,8^2$

3) $40\,000 \cdot 0,08^3$

4) $40\,000 \cdot 1,08^3$

Это задача на вычисление итоговой суммы вклада с ежегодной капитализацией процентов, то есть на применение формулы сложных процентов. Формула для расчета итоговой суммы $S$ выглядит следующим образом:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

Здесь $P$ — первоначальная сумма вклада, $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, а $n$ — количество периодов начисления (в данном случае, лет).

В условиях задачи даны следующие значения:

Первоначальная сумма вклада $P = 40\ 000$ рублей.

Годовая процентная ставка составляет 8%. Для использования в формуле ее необходимо перевести в десятичную дробь: $r = \frac{8}{100} = 0,08$.

Срок вклада $n = 3$ года.

Теперь подставим эти значения в формулу сложных процентов:

$S = 40\ 000 \cdot (1 + 0,08)^3$

Упростим выражение в скобках:

$S = 40\ 000 \cdot (1,08)^3$

Это выражение показывает, что каждый год сумма на счете увеличивается в 1,08 раза, и так происходит в течение трех лет. Полученное выражение полностью совпадает с вариантом ответа под номером 4.

Ответ: 4) $40\ 000 \cdot 1,08^3$

2. Товар на распродаже уценили на 25 %, в результате он стал стоить 900 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

1) 675 р. 2) 1350 р. 3) 1200 р. 4) 3600 р.

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость товара в рублях.

По условию, товар уценили на 25%. Это означает, что его новая цена составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной стоимости.

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, разделим их на 100: $75\% = 0.75$.

Новая цена товара составляет 900 рублей, что является 75% от первоначальной цены $x$. Мы можем составить уравнение: $0.75 \cdot x = 900$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 900 на 0.75: $x = \frac{900}{0.75}$

Для удобства вычислений можно представить 0.75 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$: $x = \frac{900}{\frac{3}{4}} = 900 \cdot \frac{4}{3}$

Теперь выполним вычисление: $x = \frac{900 \cdot 4}{3} = 300 \cdot 4 = 1200$

Таким образом, первоначальная стоимость товара до распродажи составляла 1200 рублей.

Проверка:
Найдем скидку в 25% от первоначальной цены 1200 р.: $1200 \cdot 0.25 = 300$ р.
Вычтем размер скидки из первоначальной цены: $1200 - 300 = 900$ р.
Полученная цена совпадает с ценой, указанной в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: 1200 р.

3. В июле 1 кг помидоров стоил 150 р. В августе помидоры подешевели на 10 %, а в сентябре подорожали на 20 %. Сколько рублей стоил 1 кг помидоров в сентябре?

Для решения этой задачи необходимо пошагово рассчитать изменение цены на помидоры.

1. Найдем цену помидоров в августе.

Изначальная цена в июле составляла 150 рублей. В августе цена снизилась на 10%. Сначала вычислим, на сколько рублей подешевели помидоры:

$150 \text{ р.} \times \frac{10}{100} = 150 \times 0.1 = 15 \text{ р.}$

Теперь вычтем эту сумму из июльской цены, чтобы найти цену в августе:

$150 - 15 = 135 \text{ р.}$

Итак, в августе 1 кг помидоров стоил 135 рублей.

2. Найдем цену помидоров в сентябре.

В сентябре цена выросла на 20% по сравнению с ценой в августе. Важно отметить, что 20% рассчитываются от новой, августовской цены (135 рублей).

Вычислим, на сколько рублей подорожали помидоры:

$135 \text{ р.} \times \frac{20}{100} = 135 \times 0.2 = 27 \text{ р.}$

Теперь прибавим эту сумму к августовской цене, чтобы найти итоговую цену в сентябре:

$135 + 27 = 162 \text{ р.}$

Ответ: 162 рубля.

4. В мае магазин «Всё для отдыха» продал 400 купальных костюмов. В июне и июле объёмы продаж купальных костюмов возросли на одно и то же количество процентов. На сколько процентов происходило каждый месяц увеличение продаж, если в июле было продано 1024 купальных костюма?

Пусть $S_0$ — количество купальных костюмов, проданных в мае. По условию, $S_0 = 400$.

Пусть $p$ — искомое количество процентов, на которое ежемесячно увеличивались продажи. Тогда коэффициент увеличения продаж каждый месяц равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Количество купальников, проданных в июне, составляет:

$S_{июнь} = S_0 \cdot k = 400 \cdot k$

Количество купальников, проданных в июле, увеличилось на тот же процент по сравнению с июнем:

$S_{июль} = S_{июнь} \cdot k = (S_0 \cdot k) \cdot k = S_0 \cdot k^2$

Известно, что в июле было продано 1024 купальника. Подставим известные значения в формулу и составим уравнение:

$1024 = 400 \cdot k^2$

Найдем $k^2$:

$k^2 = \frac{1024}{400}$

Для удобства вычислений можно заметить, что $1024 = 32^2$ и $400 = 20^2$.

$k^2 = \frac{32^2}{20^2} = (\frac{32}{20})^2$

Сократим дробь в скобках:

$k^2 = (\frac{8}{5})^2 = (1.6)^2$

Отсюда, так как коэффициент увеличения $k$ должен быть положительным:

$k = 1.6$

Теперь найдем процентное увеличение $p$ из формулы $k = 1 + \frac{p}{100}$:

$1.6 = 1 + \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1.6 - 1$

$\frac{p}{100} = 0.6$

$p = 0.6 \cdot 100 = 60$

Таким образом, каждый месяц продажи увеличивались на 60%.

Ответ: на 60%.

5. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 20%-ным раствором и получили 200 г 26%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 30%-ного раствора соляной кислоты в граммах, а $y$ — масса 20%-ного раствора в граммах.

По условию, общая масса полученного раствора составляет 200 г. Следовательно, первое уравнение системы будет отражать сумму масс исходных растворов:

$x + y = 200$

Второе уравнение будет отражать массу растворенного вещества (соляной кислоты). Масса кислоты в первом растворе (30%-ном) равна $0.3x$. Масса кислоты во втором растворе (20%-ном) — $0.2y$.

В конечном растворе массой 200 г с концентрацией 26% масса кислоты составляет:

$200 \cdot 0.26 = 52$ г

Сумма масс кислоты в исходных растворах равна массе кислоты в конечном растворе. Получаем второе уравнение:

$0.3x + 0.2y = 52$

Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 200 \\ 0.3x + 0.2y = 52 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 200 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$0.3x + 0.2(200 - x) = 52$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0.3x + 40 - 0.2x = 52$

$0.1x = 52 - 40$

$0.1x = 12$

$x = \frac{12}{0.1}$

$x = 120$

Таким образом, масса 30%-ного раствора составляет 120 г.

Теперь найдем массу 20%-ного раствора, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 200 - 120 = 80$

Следовательно, масса 20%-ного раствора составляет 80 г.

Ответ: взяли 120 г 30%-ного раствора и 80 г 20%-ного раствора.