Страница 56 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Мебельная мастерская должна была изготовить 180 стульев за определённый срок. Однако, изготавливая ежедневно на 3 стула больше, чем планировалось, мастерская выполнила заказ на 2 дня раньше. Пусть планировали изготавливать ежедневно по x стульев. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\frac{180}{x} - \frac{180}{x-3} = 2$

2) $\frac{180}{x-3} - \frac{180}{x} = 2$

3) $\frac{180}{x+3} - \frac{180}{x} = 2$

4) $\frac{180}{x} - \frac{180}{x+3} = 2$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является математической моделью данной ситуации, введем переменные и выразим через них условия задачи.

Пусть $x$ — количество стульев, которое мастерская планировала изготавливать ежедневно (плановая производительность).

Согласно условию, мастерская изготавливала ежедневно на 3 стула больше, чем планировалось. Значит, фактическая производительность составляла $x + 3$ стульев в день.

Всего необходимо было изготовить 180 стульев.

Время, которое планировалось потратить на выполнение всего заказа, вычисляется как отношение общего количества стульев к плановой производительности:

Планируемое время = $ \frac{180}{x} $ дней.

Фактическое время, которое было затрачено на выполнение заказа, вычисляется как отношение общего количества стульев к фактической производительности:

Фактическое время = $ \frac{180}{x+3} $ дней.

В условии сказано, что заказ был выполнен на 2 дня раньше. Это означает, что разница между планируемым временем и фактическим временем составляет 2 дня. Так как фактическая производительность была выше, фактическое время выполнения заказа меньше планируемого. Поэтому из большего времени (планируемого) вычитаем меньшее (фактическое) и приравниваем к разнице в 2 дня:

$ \frac{180}{x} - \frac{180}{x+3} = 2 $

Данное уравнение полностью соответствует математической модели описанной ситуации. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4

2. Катер проходит 20 км по течению реки и 8 км против течения вместе за 2 ч, а 4 км против течения он же проходит на 40 мин быстрее, чем 15 км по течению.

Пусть скорость катера по течению реки равна $x$ км/ч, а скорость против течения — $y$ км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{4}{y} - \frac{15}{x} = 40 \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{4}{y} - \frac{15}{x} = \frac{2}{3} \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = 40 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = \frac{2}{3} \end{cases}$

Согласно условию задачи, пусть $x$ км/ч — это скорость катера по течению реки, а $y$ км/ч — скорость катера против течения.

Рассмотрим первое условие: "Катер проходит 20 км по течению реки и 8 км против течения вместе за 2 ч".
Время, затраченное на путь по течению, равно $\frac{20}{x}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения, равно $\frac{8}{y}$ ч.
Суммарное время составляет 2 часа. Таким образом, мы получаем первое уравнение системы: $$ \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 $$

Рассмотрим второе условие: "4 км против течения он же проходит на 40 мин быстрее, чем 15 км по течению".
Время, затраченное на 15 км по течению, равно $\frac{15}{x}$ ч.
Время, затраченное на 4 км против течения, равно $\frac{4}{y}$ ч.
Поскольку путь против течения был пройден "быстрее", это означает, что времени на него было затрачено меньше. Разница во времени составляет 40 минут. Необходимо перевести минуты в часы, так как скорость дана в км/ч: $$ 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч} $$ Разница между временем движения по течению и временем движения против течения равна $\frac{2}{3}$ часа. Это дает нам второе уравнение системы: $$ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = \frac{2}{3} $$

Объединив оба уравнения, мы получим систему, которая является математической моделью данной ситуации: $$ \begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = \frac{2}{3} \end{cases} $$

Эта система соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

3. Прямоугольный участок земли площадью 1080 м² обнесён изгородью, длина которой равна 132 м. Пусть длина участка равна $x$ м, а его ширина — $y$ м. Составьте систему уравнений, являющуюся математической моделью ситуации, описанной в условии.

Для составления математической модели данной ситуации необходимо перевести словесное описание на язык математических формул. В задаче речь идет о прямоугольном участке, поэтому мы будем использовать формулы для площади и периметра прямоугольника.

По условию, длина участка равна $x$ м, а его ширина — $y$ м.

1. Площадь участка. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину: $S = x \cdot y$. Известно, что площадь участка составляет 1080 м². Следовательно, мы можем записать первое уравнение:
$xy = 1080$

2. Длина изгороди. Длина изгороди равна периметру ($P$) прямоугольного участка. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию, длина изгороди равна 132 м. Это дает нам второе уравнение:
$2(x + y) = 132$

Объединив эти два уравнения, мы получаем систему, которая является математической моделью описанной в условии ситуации.

Ответ: $\begin{cases} xy = 1080 \\ 2(x+y) = 132 \end{cases}$

4. Первая швея прострачивает 24 юбки на 1 ч быстрее, чем вторая. При совместной работе они прострачивают за час 14 юбок. Сколько юбок прострачивает за час первая швея?

Пусть $x$ — производительность первой швеи (количество юбок в час), а $y$ — производительность второй швеи.

Согласно условию, при совместной работе они прострачивают 14 юбок в час. Это означает, что сумма их производительностей равна 14. Составим первое уравнение:
$x + y = 14$

Известно, что первая швея прострачивает 24 юбки на 1 час быстрее, чем вторая. Время, необходимое первой швее для выполнения этой работы, составляет $T_1 = \frac{24}{x}$ часов. Время, необходимое второй швее, составляет $T_2 = \frac{24}{y}$ часов.
Так как первая швея выполняет работу быстрее, ее время меньше. Разница во времени составляет 1 час. Получаем второе уравнение:
$T_2 - T_1 = 1$
$\frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 1$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 14 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{24}{14 - x} - \frac{24}{x} = 1$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $x(14 - x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 14$:
$24x - 24(14 - x) = x(14 - x)$
$24x - 336 + 24x = 14x - x^2$
$48x - 336 = 14x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 48x - 14x - 336 = 0$
$x^2 + 34x - 336 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336) = 1156 + 1344 = 2500$
$\sqrt{D} = 50$

$x_1 = \frac{-34 - 50}{2} = \frac{-84}{2} = -42$
$x_2 = \frac{-34 + 50}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Поскольку производительность ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_1 = -42$ не имеет физического смысла. Следовательно, производительность первой швеи равна 8 юбок в час.

Проверим решение:
Если производительность первой швеи $x=8$ юбок/час, то производительность второй $y = 14 - 8 = 6$ юбок/час.
Время первой на 24 юбки: $\frac{24}{8} = 3$ часа.
Время второй на 24 юбки: $\frac{24}{6} = 4$ часа.
Разница во времени: $4 - 3 = 1$ час. Условие выполняется.

Ответ: 8