Номер 2, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Катер проходит 20 км по течению реки и 8 км против течения вместе за 2 ч, а 4 км против течения он же проходит на 40 мин быстрее, чем 15 км по течению.

Пусть скорость катера по течению реки равна $x$ км/ч, а скорость против течения — $y$ км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{4}{y} - \frac{15}{x} = 40 \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{4}{y} - \frac{15}{x} = \frac{2}{3} \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = 40 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = \frac{2}{3} \end{cases}$

Согласно условию задачи, пусть $x$ км/ч — это скорость катера по течению реки, а $y$ км/ч — скорость катера против течения.

Рассмотрим первое условие: "Катер проходит 20 км по течению реки и 8 км против течения вместе за 2 ч".
Время, затраченное на путь по течению, равно $\frac{20}{x}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения, равно $\frac{8}{y}$ ч.
Суммарное время составляет 2 часа. Таким образом, мы получаем первое уравнение системы: $$ \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 $$

Рассмотрим второе условие: "4 км против течения он же проходит на 40 мин быстрее, чем 15 км по течению".
Время, затраченное на 15 км по течению, равно $\frac{15}{x}$ ч.
Время, затраченное на 4 км против течения, равно $\frac{4}{y}$ ч.
Поскольку путь против течения был пройден "быстрее", это означает, что времени на него было затрачено меньше. Разница во времени составляет 40 минут. Необходимо перевести минуты в часы, так как скорость дана в км/ч: $$ 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч} $$ Разница между временем движения по течению и временем движения против течения равна $\frac{2}{3}$ часа. Это дает нам второе уравнение системы: $$ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = \frac{2}{3} $$

Объединив оба уравнения, мы получим систему, которая является математической моделью данной ситуации: $$ \begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{8}{y} = 2 \\ \frac{15}{x} - \frac{4}{y} = \frac{2}{3} \end{cases} $$

Эта система соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4