Номер 4, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Две копировальные машины, работая одновременно, могут сделать копию пакета документов за 12 мин. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем вторая закончила бы копирование документов, то на всю работу ушло бы 25 мин. За какое время могла бы скопировать документы каждая машина, работая самостоятельно?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это время в минутах, за которое первая копировальная машина выполнит всю работу самостоятельно, а $y$ — время в минутах, за которое вторая машина выполнит ту же работу.

Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Если принять всю работу за 1, то производительность первой машины составит $\frac{1}{x}$ работы в минуту, а производительность второй — $\frac{1}{y}$ работы в минуту.

1. Составление первого уравнения.

Согласно условию, работая вместе, две машины выполняют всю работу за 12 минут. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Работа равна произведению производительности на время. Таким образом, получаем первое уравнение:

$12 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Или:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

2. Составление второго уравнения.

По второму условию, сначала первая машина выполнила половину работы ($\frac{1}{2}$), а затем вторая — оставшуюся половину ($\frac{1}{2}$). Общее время составило 25 минут.

Время, которое первая машина потратила на половину работы: $t_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ минут.

Время, которое вторая машина потратила на вторую половину работы: $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ минут.

Суммарное время равно 25 минутам, отсюда второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25$

3. Решение системы уравнений.

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 2:

$x + y = 50$

Выразим $y$ через $x$:

$y = 50 - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(50 - x)$:

$\frac{(50 - x) + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$

Упростим числитель:

$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим:

$50 \cdot 12 = 1 \cdot (50x - x^2)$

$600 = 50x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 50, а произведение — 600. Эти числа — 20 и 30. Корни уравнения: $x_1 = 20$ и $x_2 = 30$.

Теперь найдем соответствующие значения для $y$:

• Если $x_1 = 20$, то $y_1 = 50 - 20 = 30$.
• Если $x_2 = 30$, то $y_2 = 50 - 30 = 20$.

Оба решения указывают на то, что одной машине для выполнения работы требуется 20 минут, а другой — 30 минут.

Ответ: Одна машина могла бы скопировать документы за 20 минут, а другая — за 30 минут.