Номер 4, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Две снегоуборочные машины, работая одновременно, могут расчистить определённую площадь за 4 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем вторая закончила бы уборку снега, то на всю работу ушло бы 9 ч. За какое время могла бы очистить от снега эту площадь каждая машина, работая самостоятельно?

Обозначим за $x$ время в часах, за которое первая снегоуборочная машина может самостоятельно расчистить всю площадь, и за $y$ — время в часах, за которое эту же работу может выполнить вторая машина.

Тогда производительность (скорость работы) первой машины составляет $\frac{1}{x}$ часть площади в час, а производительность второй машины — $\frac{1}{y}$ часть площади в час.

Согласно первому условию задачи, работая одновременно, обе машины расчищают площадь за 4 часа. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей. Примем всю работу за 1. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 4 = 1$

Отсюда получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Согласно второму условию, если сначала первая машина выполнит половину работы ($\frac{1}{2}$ всей работы), а затем вторая закончит вторую половину, то на всю работу уйдёт 9 часов.

Время, которое первая машина потратит на выполнение половины работы: $t_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов.

Время, которое вторая машина потратит на выполнение второй половины работы: $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов.

Общее время составляет 9 часов, поэтому можем составить второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9$

Умножив обе части на 2, получим:

$x + y = 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x + y = 18 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 18 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{18-x} = \frac{1}{4}$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(18-x) + x}{x(18-x)} = \frac{1}{4}$

$\frac{18}{18x - x^2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:

$18 \cdot 4 = 1 \cdot (18x - x^2)$

$72 = 18x - x^2$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 18x + 72 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно 72, а их сумма равна 18. Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 12$.

Теперь найдём соответствующие значения для $y$:

1. Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 18 - 6 = 12$.

2. Если $x_2 = 12$, то $y_2 = 18 - 12 = 6$.

Оба решения указывают на то, что одной машине требуется 6 часов, а другой — 12 часов для выполнения всей работы в одиночку.

Ответ: одна снегоуборочная машина могла бы очистить эту площадь за 6 часов, а другая — за 12 часов.