Номер 4, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Первая швея прострачивает 24 юбки на 1 ч быстрее, чем вторая. При совместной работе они прострачивают за час 14 юбок. Сколько юбок прострачивает за час первая швея?

Пусть $x$ — производительность первой швеи (количество юбок в час), а $y$ — производительность второй швеи.

Согласно условию, при совместной работе они прострачивают 14 юбок в час. Это означает, что сумма их производительностей равна 14. Составим первое уравнение:
$x + y = 14$

Известно, что первая швея прострачивает 24 юбки на 1 час быстрее, чем вторая. Время, необходимое первой швее для выполнения этой работы, составляет $T_1 = \frac{24}{x}$ часов. Время, необходимое второй швее, составляет $T_2 = \frac{24}{y}$ часов.
Так как первая швея выполняет работу быстрее, ее время меньше. Разница во времени составляет 1 час. Получаем второе уравнение:
$T_2 - T_1 = 1$
$\frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 1$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 14 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{24}{14 - x} - \frac{24}{x} = 1$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $x(14 - x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 14$:
$24x - 24(14 - x) = x(14 - x)$
$24x - 336 + 24x = 14x - x^2$
$48x - 336 = 14x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 48x - 14x - 336 = 0$
$x^2 + 34x - 336 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336) = 1156 + 1344 = 2500$
$\sqrt{D} = 50$

$x_1 = \frac{-34 - 50}{2} = \frac{-84}{2} = -42$
$x_2 = \frac{-34 + 50}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Поскольку производительность ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_1 = -42$ не имеет физического смысла. Следовательно, производительность первой швеи равна 8 юбок в час.

Проверим решение:
Если производительность первой швеи $x=8$ юбок/час, то производительность второй $y = 14 - 8 = 6$ юбок/час.
Время первой на 24 юбки: $\frac{24}{8} = 3$ часа.
Время второй на 24 юбки: $\frac{24}{6} = 4$ часа.
Разница во времени: $4 - 3 = 1$ час. Условие выполняется.

Ответ: 8