Номер 4, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Первый рабочий изготавливает 40 деталей на 2 ч дольше, чем второй. При совместной работе они изготавливают за час 30 деталей. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие производительность рабочих (количество деталей, изготавливаемых за один час).

Пусть $x$ – производительность первого рабочего (деталей/час).

Пусть $y$ – производительность второго рабочего (деталей/час).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Условие "При совместной работе они изготавливают за час 30 деталей" означает, что сумма их производительностей равна 30. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 30$

2. Условие "Первый рабочий изготавливает 40 деталей на 2 ч дольше, чем второй" означает, что время, затраченное первым рабочим на изготовление 40 деталей, на 2 часа больше времени, затраченного вторым рабочим на ту же работу. Время на изготовление 40 деталей для первого рабочего составляет $\frac{40}{x}$ часов, а для второго – $\frac{40}{y}$ часов. Получаем второе уравнение:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{y} = 2$

Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ \frac{40}{x} - \frac{40}{y} = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 30 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{30 - x} = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $x(30 - x)$:

$\frac{40(30 - x) - 40x}{x(30 - x)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{1200 - 40x - 40x}{30x - x^2} = 2$

$\frac{1200 - 80x}{30x - x^2} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $30x - x^2$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 30$):

$1200 - 80x = 2(30x - x^2)$

$1200 - 80x = 60x - 2x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 80x - 60x + 1200 = 0$

$2x^2 - 140x + 1200 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 70x + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 4900 - 2400 = 2500$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-70) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-70) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для производительности первого рабочего. Проверим каждое из них:

• Если $x = 60$, то производительность второго рабочего $y = 30 - 60 = -30$. Производительность не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.
• Если $x = 10$, то производительность второго рабочего $y = 30 - 10 = 20$. Оба значения положительны. Проверим, выполняется ли второе условие:
  • Время первого рабочего: $\frac{40}{10} = 4$ часа.
  • Время второго рабочего: $\frac{40}{20} = 2$ часа.
  • Разница во времени: $4 - 2 = 2$ часа.
  Это полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, производительность первого рабочего составляет 10 деталей в час.

Ответ: 10.