Номер 4, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 2xy = 6, \\ y - 2xy = -15; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{24}{5}, \\ 2x + 3y = 26. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 2xy = 6 \\ y - 2xy = -15 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы. Это позволит нам избавиться от члена $2xy$:
$(3x + 2xy) + (y - 2xy) = 6 + (-15)$
$3x + y = -9$

Из полученного уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -9 - 3x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы:
$3x + 2x(-9 - 3x) = 6$
$3x - 18x - 6x^2 = 6$
$-6x^2 - 15x - 6 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на -3:
$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя ранее выведенную формулу $y = -9 - 3x$:
1. При $x_1 = -0.5$, $y_1 = -9 - 3(-0.5) = -9 + 1.5 = -7.5$.
2. При $x_2 = -2$, $y_2 = -9 - 3(-2) = -9 + 6 = -3$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-0.5; -7.5)$, $(-2; -3)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{24}{5} \\ 2x + 3y = 26 \end{cases} $

Область допустимых значений переменных: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $xy$:
$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{24}{5}$

Используя основное свойство пропорции, получим:
$5(x^2 - y^2) = 24xy$
$5x^2 - 5y^2 - 24xy = 0$
$5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разделим обе его части на $y^2$ (это допустимо, так как $y \neq 0$):
$5(\frac{x}{y})^2 - 24(\frac{x}{y}) - 5 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение примет вид:
$5t^2 - 24t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2$

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
$t_2 = \frac{24 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2$

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два возможных случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 5$, откуда $x = 5y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 3y = 26$:
$2(5y) + 3y = 26$
$10y + 3y = 26$
$13y = 26 \implies y = 2$
Теперь найдем $x$: $x = 5 \cdot 2 = 10$.
Первое решение: $(10; 2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -0.2$, откуда $x = -0.2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 3y = 26$:
$2(-0.2y) + 3y = 26$
$-0.4y + 3y = 26$
$2.6y = 26 \implies y = 10$
Теперь найдем $x$: $x = -0.2 \cdot 10 = -2$.
Второе решение: $(-2; 10)$.

Ответ: $(10; 2)$, $(-2; 10)$.