Номер 2, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите решения системы уравнений $\begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases}$

1) $(-1; 3)$, $(4; -2)$

2) $(3; -1)$, $(4; -2)$

3) $(3; -1)$, $(-2; 4)$

4) $(-1; 3)$, $(-2; 4)$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Исходная система:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases} $

1. Выражение одной переменной через другую

Из первого, более простого уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 2 - x$

2. Подстановка и решение уравнения

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - x(2 - x) = 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + x^2 = 12$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

3. Нахождение второй переменной

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя ранее выведенную формулу $y = 2 - x$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первая пара решений: $(3; -1)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, вторая пара решений: $(-2; 4)$.

4. Выбор ответа

Мы получили два решения системы уравнений: $(3; -1)$ и $(-2; 4)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Ответ: 3) (3; –1), (–2; 4)