Номер 1, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 20 изображены графики уравнений $y = x^2 - 1$, $x + y = 0$, $x + y = 3$, $x + 3 = 0$, $y + 3 = 0$.

Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ x + 3 = 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ x + y = 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ y + 3 = 0 \end{cases}$

Рис. 20

Чтобы найти систему уравнений, не имеющую решений, необходимо найти пару графиков, которые не пересекаются. Графическое решение системы уравнений — это точки пересечения графиков этих уравнений.

В каждой системе дано уравнение параболы $y = x^2 - 1$. График этой параболы имеет вершину в точке $(0; -1)$, а ветви направлены вверх. Это означает, что наименьшее значение, которое может принимать $y$, равно $-1$.

1) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + 3 = 0 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $x = -3$. Это вертикальная прямая. Подставив $x = -3$ в уравнение параболы, получим: $y = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Графики пересекаются в точке $(-3; 8)$, следовательно, система имеет решение.

Ответ: система имеет решение.

2) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + y = 0 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $y = -x$. Из рисунка 20 видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Следовательно, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + y = 3 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $y = 3 - x$. Из рисунка 20 видно, что эта прямая также пересекает параболу в двух точках. Следовательно, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

4) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ y + 3 = 0 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $y = -3$. Это горизонтальная прямая. Поскольку наименьшее значение $y$ для параболы равно $-1$, а все точки прямой имеют координату $y = -3$, то прямая расположена ниже параболы и не пересекает её. Алгебраическая проверка: подставим $y = -3$ в первое уравнение. Получим $-3 = x^2 - 1$, откуда $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Таким образом, система уравнений, не имеющая решений, указана под номером 4.

Ответ: 4