Номер 5, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Решите неравенство $\sqrt{x(x^2 - 4x - 21)} > 0$.

Исходное неравенство $\sqrt{x(x^2 - 4x - 21)} > 0$ имеет смысл и выполняется тогда и только тогда, когда выражение под корнем строго больше нуля. Это связано с тем, что квадратный корень является неотрицательной функцией, и он будет строго больше нуля, только если подкоренное выражение положительно.

Таким образом, данное неравенство равносильно неравенству:
$x(x^2 - 4x - 21) > 0$

Для решения этого неравенства методом интервалов найдем сначала корни соответствующего уравнения $x(x^2 - 4x - 21) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы получили три корня: $-3$, $0$ и $7$. Теперь мы можем переписать неравенство в виде:
$(x - (-3))(x - 0)(x - 7) > 0$
$x(x + 3)(x - 7) > 0$

Отметим найденные корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 7)$ и $(7; +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x + 3)(x - 7)$ на каждом из этих интервалов:
- при $x \in (7; +\infty)$, например $x=10$: $10 \cdot (10+3) \cdot (10-7) = 10 \cdot 13 \cdot 3 > 0$. Знак «+».
- при $x \in (0; 7)$, например $x=1$: $1 \cdot (1+3) \cdot (1-7) = 1 \cdot 4 \cdot (-6) < 0$. Знак «-».
- при $x \in (-3; 0)$, например $x=-1$: $(-1) \cdot (-1+3) \cdot (-1-7) = (-1) \cdot 2 \cdot (-8) > 0$. Знак «+».
- при $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(-4) \cdot (-4+3) \cdot (-4-7) = (-4) \cdot (-1) \cdot (-11) < 0$. Знак «-».

Поскольку мы решаем неравенство со знаком «>», нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Такими интервалами являются $(-3; 0)$ и $(7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (7; +\infty)$.