Номер 3, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $7x^2 + 12x - 4 > 0;$

2) $-5x^2 + 3x - 2 < 0;$

3) $(x + 19)(x - 3) - (2x - 1)(2x + 1) \ge x - 38.$

1) $7x^2 + 12x - 4 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + 12x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 144 + 112 = 256$.
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 16}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
Графиком функции $y = 7x^2 + 12x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($7 > 0$).
Неравенство $7x^2 + 12x - 4 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.
Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ и $x > \frac{2}{7}$.
В виде интервалов: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{2}{7}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (\frac{2}{7}; +\infty)$.

2) $-5x^2 + 3x - 2 < 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $-5x^2 + 3x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 9 - 40 = -31$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = -5x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-5 < 0$).
Так как у параболы с ветвями вниз нет точек пересечения с осью Ox, она полностью расположена ниже оси Ox.
Это означает, что выражение $-5x^2 + 3x - 2$ всегда отрицательно при любом значении $x$.
Неравенство $-5x^2 + 3x - 2 < 0$ выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $(x + 19)(x - 3) - (2x - 1)(2x + 1) \ge x - 38$

Упростим данное неравенство, раскрыв скобки.
Первое произведение: $(x + 19)(x - 3) = x^2 - 3x + 19x - 57 = x^2 + 16x - 57$.
Второе произведение — это разность квадратов: $(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
Подставим раскрытые скобки в исходное неравенство:
$(x^2 + 16x - 57) - (4x^2 - 1) \ge x - 38$.
$x^2 + 16x - 57 - 4x^2 + 1 \ge x - 38$.
Приведем подобные слагаемые:
$-3x^2 + 16x - 56 \ge x - 38$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-3x^2 + 16x - x - 56 + 38 \ge 0$.
$-3x^2 + 15x - 18 \ge 0$.
Разделим обе части неравенства на $-3$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 5x + 6 \le 0$.
Теперь решим соответствующее уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 5x + 6 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или ниже неё, то есть между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $2 \le x \le 3$.
Ответ: $[2; 3]$.