Номер 1, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $3x - x^2 \ge 0$.

1) На числовой прямой отмечена точка 0 (закрашенная), и область слева от 0 заштрихована.

2) На числовой прямой отмечена точка 3 (закрашенная), и область справа от 3 заштрихована.

3) На числовой прямой отмечены точки 0 и 3 (закрашенные). Области слева от 0 и справа от 3 заштрихованы.

4) На числовой прямой отмечены точки 0 и 3 (закрашенные). Область между 0 и 3 заштрихована.

Для решения квадратного неравенства $3x - x^2 \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x - x^2 = 0$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3 - x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$

Корни уравнения, $0$ и $3$, разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
Определим знак выражения $3x - x^2$ в каждом из этих интервалов.

• В интервале $(-\infty, 0)$ возьмем пробную точку, например $x = -1$:
  $3(-1) - (-1)^2 = -3 - 1 = -4$. Значение отрицательное.
• В интервале $(0, 3)$ возьмем пробную точку, например $x = 1$:
  $3(1) - (1)^2 = 3 - 1 = 2$. Значение положительное.
• В интервале $(3, +\infty)$ возьмем пробную точку, например $x = 4$:
  $3(4) - (4)^2 = 12 - 16 = -4$. Значение отрицательное.

Также можно проанализировать график функции $y = 3x - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=3$. Следовательно, значения функции будут неотрицательными ($y \ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Мы ищем решения неравенства $3x - x^2 \ge 0$, то есть те значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.
Этому условию удовлетворяет промежуток $[0, 3]$. Знак неравенства нестрогий, поэтому точки $0$ и $3$ включаются в решение.

На рисунках представлено графическое изображение множества решений. Наш результат, отрезок $[0, 3]$, соответствует рисунку под номером 4.
Ответ: 4