Номер 3, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $x^2 + 7x - 8 > 0$;

2) $3x^2 - 4x + 2 < 0$;

3) $(2x - 1)^2 \leq (x - 1)(x + 7) + 5$.

1) $x^2 + 7x - 8 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: $x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$, что дает те же корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Квадратичная функция $y = x^2 + 7x - 8$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=1 > 0$).

Следовательно, функция принимает положительные значения на интервалах левее меньшего корня ($-8$) и правее большего корня ($1$).

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 7x - 8 > 0$ есть объединение интервалов $x < -8$ и $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$.

2) $3x^2 - 4x + 2 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 4x + 2$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 2 = 0$:

$a = 3, b = -4, c = 2$

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 3x^2 - 4x + 2$ не пересекает ось Ox.

Коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 3 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Это означает, что вся парабола находится выше оси Ox, и значение выражения $3x^2 - 4x + 2$ всегда положительно при любом значении $x$.

Неравенство $3x^2 - 4x + 2 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным, что невозможно.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

3) $(2x - 1)^2 \leq (x - 1)(x + 7) + 5$

Сначала преобразуем неравенство, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Раскроем квадрат разности в левой части и произведение скобок в правой части:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 \leq x^2 + 7x - x - 7 + 5$

$4x^2 - 4x + 1 \leq x^2 + 6x - 2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$4x^2 - x^2 - 4x - 6x + 1 + 2 \leq 0$

$3x^2 - 10x + 3 \leq 0$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$a = 3, b = -10, c = 3$

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 3 > 0$).

Следовательно, функция принимает неположительные значения ($ \leq 0 $) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть отрезок $[\frac{1}{3}; 3]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 3]$.