Номер 5, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Найдите целые решения системы неравенств

$\begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0, \\ 2x - 1 > 0. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Для этого найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $x^2 + x - 6 \le 0$ выполняется для всех $x$ между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-3, 2]$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 1 > 0$.

Это линейное неравенство.
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
$x > 0.5$
Решение второго неравенства: $x \in (0.5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений системы.

Нам необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $x \in [-3, 2]$ и $x \in (0.5, +\infty)$.
Пересечением этих двух интервалов является полуинтервал $(0.5, 2]$.

4. Найдем целые решения.

Согласно условию, необходимо найти все целые числа, которые принадлежат промежутку $(0.5, 2]$.
Целыми числами, которые больше 0.5 и меньше либо равны 2, являются 1 и 2.

Ответ: 1; 2.