Номер 4, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{14 + 5x - x^2}} + \frac{1}{x - 6}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция является суммой двух слагаемых, поэтому ее область определения будет пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Функция задана формулой: $y = \frac{1}{\sqrt{14 + 5x - x^2}} + \frac{1}{x - 6}$.

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе первого слагаемого, должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя, и извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.

$14 + 5x - x^2 > 0$

2. Знаменатель второго слагаемого не должен быть равен нулю.

$x - 6 \neq 0$

Таким образом, мы получаем систему из двух условий:

$\begin{cases} 14 + 5x - x^2 > 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $14 + 5x - x^2 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5x - 14 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Воспользуемся теоремой Виета или формулой корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 - 5x - 14$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 < 0$ выполняется между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-2, 7)$.

Теперь рассмотрим второе условие системы: $x - 6 \neq 0$, что означает $x \neq 6$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо найти пересечение решений двух условий: $x \in (-2, 7)$ и $x \neq 6$.

Исключаем точку $x=6$ из интервала $(-2, 7)$. В результате получаем объединение двух интервалов: $(-2, 6)$ и $(6, 7)$.

Ответ: $x \in (-2, 6) \cup (6, 7)$.