Номер 3, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Постройте график функции $f(x) = 6 + x - x^2$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Для построения графика функции $f(x) = 6 + x - x^2$ и анализа ее свойств, выполним следующие шаги.

Данная функция является квадратичной. Запишем ее в стандартном виде: $f(x) = -x^2 + x + 6$. Графиком этой функции является парабола.

Построение графика

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса (координата $x$) вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 1$.
   $x_0 = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$.
   Ордината (координата $y$) вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
   $y_0 = f(0.5) = -(0.5)^2 + 0.5 + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0.5; 6.25)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   С осью Oy:
   Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x = 0$ в функцию:
   $f(0) = -0^2 + 0 + 6 = 6$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0; 6)$.
   С осью Ox (нули функции):
   Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $f(x) = 0$:
   $-x^2 + x + 6 = 0$
   Умножим обе части на -1, чтобы упростить решение:
   $x^2 - x - 6 = 0$
   Найдем корни, используя теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$ и $(3; 0)$.
4. Построение графика.
   На координатной плоскости отметим найденные точки: вершину $(0.5; 6.25)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 6)$. Также можно отметить точку $(1; 6)$, симметричную точке $(0; 6)$ относительно оси симметрии параболы $x=0.5$. Соединим эти точки плавной кривой, чтобы получить параболу.

Используя построенный график, ответим на поставленные вопросы.

1) область значений данной функции;

Область значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее наивысшая точка — это вершина с ординатой $y_0 = 6.25$. Следовательно, функция принимает все значения от $-\infty$ до $6.25$ включительно.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 6.25]$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция возрастает на том интервале, где ее график идет вверх при движении слева направо, и убывает, где график идет вниз. Точкой изменения характера монотонности является вершина параболы, где $x = 0.5$.
Функция возрастает на промежутке до вершины.
Функция убывает на промежутке после вершины.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и убывает на промежутке $[0.5; +\infty)$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) там, где ее график расположен выше оси Ox. Это происходит между корнями функции, то есть между $x = -2$ и $x = 3$.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$) там, где ее график расположен ниже оси Ox. Это происходит левее корня $x = -2$ и правее корня $x = 3$.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-2; 3)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.