Номер 3, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Постройте график функции $f(x) = 4 - 3x - x^2$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Для построения графика функции $f(x) = 4 - 3x - x^2$ сначала проанализируем её. Запишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 - 3x + 4$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$.
Ордината вершины: $y_0 = f(-1.5) = 4 - 3(-1.5) - (-1.5)^2 = 4 + 4.5 - 2.25 = 6.25$.
Координаты вершины: $(-1.5, 6.25)$.

2. Точки пересечения с осями координат:
С осью ординат (OY), при $x=0$: $y = 4 - 3(0) - 0^2 = 4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.
С осью абсцисс (OX), при $y=0$: $4 - 3x - x^2 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2 + 3x - 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-4, 0)$.

Используя эти точки — вершину $(-1.5, 6.25)$, точки пересечения с осями $(0, 4)$, $(1, 0)$, $(-4, 0)$ и ось симметрии $x = -1.5$ — строим параболу. Теперь, на основе анализа графика, ответим на вопросы.

1) область значений данной функции;
Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать функция $f(x)$. Так как график является параболой с ветвями, направленными вниз, функция имеет максимальное значение в своей вершине. Максимальное значение функции равно ординате вершины, то есть $6.25$. Таким образом, функция может принимать любые значения, не превышающие $6.25$.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 6.25]$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
Функция возрастает на том промежутке, где с увеличением $x$ значения $f(x)$ также увеличиваются (график идет вверх). Это происходит на луче до вершины. Функция убывает, где с увеличением $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет вниз). Это происходит на луче после вершины. Абсцисса вершины $x_0 = -1.5$ является точкой изменения монотонности.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1.5]$.
Промежуток убывания: $[-1.5; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и убывает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.
Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (OX). Это происходит на интервале между корнями функции, то есть между точками $x = -4$ и $x = 1$.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс (OX). Это происходит левее меньшего корня ($x = -4$) и правее большего корня ($x = 1$).
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-4; 1)$, а отрицательные — при $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.