Страница 45 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна абсцисса вершины параболы

$y = -3x^2 + 2x - 9$?

1) -2

2) 2

3) $-\frac{1}{3}$

4) $\frac{1}{3}$

1.

Чтобы найти абсциссу (координату $x$) вершины параболы, заданной уравнением в виде $y = ax^2 + bx + c$, используется формула:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

В заданном уравнении $y = -3x^2 + 2x - 9$ определим коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -3$
$b = 2$

Теперь подставим найденные значения в формулу для вычисления абсциссы вершины:

$x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{-6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна $\frac{1}{3}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

2. На рисунке 17 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Укажите верное утверждение.

1) $a > 0, c > 0$

2) $a < 0, c > 0$

3) $a > 0, c < 0$

4) $a < 0, c < 0$

Рис. 17

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, необходимо проанализировать ключевые особенности параболы.

1. Определение знака коэффициента $a$.
Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз. На данном графике ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Определение знака коэффициента $c$.
Коэффициент $c$ — это значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Геометрически это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Из рисунка видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке, расположенной ниже оси $x$. Это значит, что ордината точки пересечения отрицательна. Следовательно, $c < 0$.

Таким образом, для данной функции выполняются условия $a < 0$ и $c < 0$. Сравнив этот вывод с предложенными вариантами, находим, что верным является утверждение под номером 4.

Ответ: 4

3. Постройте график функции $f(x) = 4 - 3x - x^2$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Для построения графика функции $f(x) = 4 - 3x - x^2$ сначала проанализируем её. Запишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 - 3x + 4$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$.
Ордината вершины: $y_0 = f(-1.5) = 4 - 3(-1.5) - (-1.5)^2 = 4 + 4.5 - 2.25 = 6.25$.
Координаты вершины: $(-1.5, 6.25)$.

2. Точки пересечения с осями координат:
С осью ординат (OY), при $x=0$: $y = 4 - 3(0) - 0^2 = 4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.
С осью абсцисс (OX), при $y=0$: $4 - 3x - x^2 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2 + 3x - 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-4, 0)$.

Используя эти точки — вершину $(-1.5, 6.25)$, точки пересечения с осями $(0, 4)$, $(1, 0)$, $(-4, 0)$ и ось симметрии $x = -1.5$ — строим параболу. Теперь, на основе анализа графика, ответим на вопросы.

1) область значений данной функции;
Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать функция $f(x)$. Так как график является параболой с ветвями, направленными вниз, функция имеет максимальное значение в своей вершине. Максимальное значение функции равно ординате вершины, то есть $6.25$. Таким образом, функция может принимать любые значения, не превышающие $6.25$.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 6.25]$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
Функция возрастает на том промежутке, где с увеличением $x$ значения $f(x)$ также увеличиваются (график идет вверх). Это происходит на луче до вершины. Функция убывает, где с увеличением $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет вниз). Это происходит на луче после вершины. Абсцисса вершины $x_0 = -1.5$ является точкой изменения монотонности.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1.5]$.
Промежуток убывания: $[-1.5; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и убывает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.
Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (OX). Это происходит на интервале между корнями функции, то есть между точками $x = -4$ и $x = 1$.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс (OX). Это происходит левее меньшего корня ($x = -4$) и правее большего корня ($x = 1$).
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-4; 1)$, а отрицательные — при $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

4. При каком значении $b$ промежуток $(-\infty; -5]$ является промежутком убывания функции $y = 4x^2 - bx + 1$?

Данная функция $y = 4x^2 - bx + 1$ является квадратичной. Ее график — парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен 4. Так как $4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

У параболы с ветвями, направленными вверх, есть точка минимума — вершина параболы. Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины и возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$.

Таким образом, промежуток убывания функции имеет вид $(-\infty; x_{\text{вершины}}]$.

По условию задачи, промежуток убывания функции — это $(-\infty; -5]$. Сравнивая эти два выражения, мы можем заключить, что абсцисса вершины параболы должна быть равна -5:

$x_{\text{вершины}} = -5$

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + kx + c$, находится по формуле $x_{\text{вершины}} = -\frac{k}{2a}$.

Для нашей функции $y = 4x^2 - bx + 1$ коэффициенты равны $a = 4$ и $k = -b$. Подставим их в формулу:

$x_{\text{вершины}} = -\frac{-b}{2 \cdot 4} = \frac{b}{8}$

Теперь приравняем полученное выражение для $x_{\text{вершины}}$ к известному значению -5 и решим уравнение относительно $b$:

$\frac{b}{8} = -5$

$b = -5 \cdot 8$

$b = -40$

Ответ: -40