Страница 43 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна абсцисса вершины параболы $y = 3x^2 - 24x + 7?$

1) -24

2) 24

3) -4

4) 4

1.

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для параболы $y = 3x^2 - 24x + 7$ коэффициенты имеют следующие значения:
$a = 3$
$b = -24$

Подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины:
$x_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 3}$

Выполним вычисления:
$x_0 = -\frac{-24}{6} = -(-4) = 4$.

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна 4.

Ответ: 4

2. На рисунке 15 изображён график квадратичной функ-ции $y = ax^2 + bx + c$, $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$.

Укажите верное утверждение.

1) $a > 0, D > 0$

2) $a < 0, D > 0$

3) $a > 0, D < 0$

4) $a < 0, D < 0$

Рис. 15

Для решения задачи необходимо определить знаки коэффициента $a$ и дискриминанта $D$ для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, график которой изображен на рисунке.

1. Анализ знака коэффициента $a$
Коэффициент $a$ в уравнении параболы отвечает за направление её ветвей.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

На представленном графике ветви параболы направлены вниз. Следовательно, мы можем заключить, что $a < 0$.

2. Анализ знака дискриминанта $D$
Дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, равный $D = b^2 - 4ac$, определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс ($Ox$).

• Если $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках.
• Если $D = 0$, парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в своей вершине).
• Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$.

На графике видно, что парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках. Следовательно, дискриминант $D > 0$.

3. Вывод
Итак, мы определили, что для данной функции выполняются два условия: $a < 0$ и $D > 0$. Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами ответов:

1. $a > 0, D > 0$ — неверно, так как $a < 0$.
2. $a < 0, D > 0$ — верно.
3. $a > 0, D < 0$ — неверно, так как $a < 0$ и $D > 0$.
4. $a < 0, D < 0$ — неверно, так как $D > 0$.

Таким образом, верное утверждение находится под номером 2.

Ответ: 2.

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 8$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 + 2x - 8$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля ($a>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$):

$f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

С осью Ox (при $f(x)=0$):

$x^2 + 2x - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

3. Дополнительные точки для точности построения.

Найдем точку, симметричную точке $(0, -8)$ относительно оси симметрии параболы $x = -1$. Это будет точка с абсциссой $x = -2$.

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$.

Точка $(-2, -8)$.

Отметив на координатной плоскости вершину $(-1, -9)$, точки пересечения с осями $(-4, 0)$, $(2, 0)$, $(0, -8)$ и симметричную ей точку $(-2, -8)$, можно построить параболу.

Теперь, используя свойства и график функции, ответим на поставленные вопросы.

1) область значений данной функции

Так как ветви параболы направлены вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины $y_v = -9$. Все остальные значения функции больше этого числа. Следовательно, область значений функции — это все числа от -9 включительно и до плюс бесконечности.

Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает на промежутке слева от абсциссы вершины ($x_v = -1$) и возрастает на промежутке справа от нее.

Промежуток убывания: $(-\infty; -1]$.

Промежуток возрастания: $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные

Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда график параболы расположен выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее первого корня ($x=-4$) и правее второго корня ($x=2$).

Значения функции отрицательны ($f(x) < 0$), когда график параболы расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-4; 2)$.

4. При каком значении c наибольшее значение функции $y = -3x^2 + 12x + c$ равно 5?

Функция $y = -3x^2 + 12x + c$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -3 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для данной функции $a = -3$ и $b = 12$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$

Наибольшее значение функции $y_{наиб.}$ достигается при $x = x_0 = 2$. Чтобы найти это значение, подставим $x=2$ в исходное уравнение функции:

$y_{наиб.} = -3(2)^2 + 12(2) + c$

$y_{наиб.} = -3 \cdot 4 + 24 + c$

$y_{наиб.} = -12 + 24 + c$

$y_{наиб.} = 12 + c$

По условию задачи, наибольшее значение функции равно 5. Приравняем полученное выражение для $y_{наиб.}$ к 5:

$12 + c = 5$

Теперь найдем значение $c$:

$c = 5 - 12$

$c = -7$

Ответ: -7.