Номер 3, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 2x - 8$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 + 2x - 8$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля ($a>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$):

$f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

С осью Ox (при $f(x)=0$):

$x^2 + 2x - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

3. Дополнительные точки для точности построения.

Найдем точку, симметричную точке $(0, -8)$ относительно оси симметрии параболы $x = -1$. Это будет точка с абсциссой $x = -2$.

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$.

Точка $(-2, -8)$.

Отметив на координатной плоскости вершину $(-1, -9)$, точки пересечения с осями $(-4, 0)$, $(2, 0)$, $(0, -8)$ и симметричную ей точку $(-2, -8)$, можно построить параболу.

Теперь, используя свойства и график функции, ответим на поставленные вопросы.

1) область значений данной функции

Так как ветви параболы направлены вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины $y_v = -9$. Все остальные значения функции больше этого числа. Следовательно, область значений функции — это все числа от -9 включительно и до плюс бесконечности.

Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает на промежутке слева от абсциссы вершины ($x_v = -1$) и возрастает на промежутке справа от нее.

Промежуток убывания: $(-\infty; -1]$.

Промежуток возрастания: $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные

Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда график параболы расположен выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее первого корня ($x=-4$) и правее второго корня ($x=2$).

Значения функции отрицательны ($f(x) < 0$), когда график параболы расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-4; 2)$.