Номер 4, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Определите графически количество корней уравнения

$\sqrt{x-1} = x^2 - 4.$

Для графического определения количества корней уравнения $\sqrt{x-1} = x^2 - 4$ необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = x^2 - 4$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Анализ функций и области определения

• Функция $y_1 = \sqrt{x-1}$:
  • Область определения (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
  • Графиком является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в точке $(1, 0)$. Функция возрастающая.
• Функция $y_2 = x^2 - 4$:
  • Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -4)$.

Поскольку левая часть уравнения, $\sqrt{x-1}$, по определению арифметического корня не может быть отрицательной ($\sqrt{x-1} \ge 0$), то и правая часть должна удовлетворять тому же условию: $x^2 - 4 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Объединяя оба условия ($x \ge 1$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$), находим общую область допустимых значений для корней уравнения: $x \ge 2$.

2. Построение и анализ графиков

Рассмотрим поведение графиков на промежутке $x \ge 2$.

• Вычислим значения функций в начальной точке промежутка, при $x=2$:
  • $y_1(2) = \sqrt{2-1} = 1$. Точка на графике: $(2, 1)$.
  • $y_2(2) = 2^2 - 4 = 0$. Точка на графике: $(2, 0)$.
  Видим, что при $x=2$ график функции $y_1 = \sqrt{x-1}$ находится выше графика функции $y_2 = x^2 - 4$.
• Рассмотрим, как ведут себя функции при увеличении $x$. Например, при $x=3$:
  • $y_1(3) = \sqrt{3-1} = \sqrt{2} \approx 1.41$.
  • $y_2(3) = 3^2 - 4 = 5$.
  При $x=3$ график параболы $y_2 = x^2 - 4$ уже находится значительно выше графика $y_1 = \sqrt{x-1}$.

Обе функции являются непрерывными на промежутке $[2, \infty)$. Поскольку в точке $x=2$ график $y_1$ находится выше графика $y_2$, а при $x=3$ — уже ниже, это означает, что на интервале $(2, 3)$ графики обязательно должны пересечься хотя бы один раз.

При $x \ge 2$ функция $y_2 = x^2 - 4$ возрастает гораздо быстрее, чем функция $y_1 = \sqrt{x-1}$. После точки пересечения парабола будет всегда находиться выше ветви параболы, и других точек пересечения не будет. Таким образом, графики функций пересекаются только в одной точке.

Из графика видно, что функции имеют одну точку пересечения.

Ответ: 1.