Номер 3, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Постройте график функции $y = \frac{12}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{12}{x - 4}$;

2) $y = \frac{12 + 4x}{x}$.

Сначала построим график базовой функции $y = \frac{12}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=12 > 0$. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Теперь, используя этот график, построим графики заданных функций.

1) $y = \frac{12}{x-4}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 4 единицы вправо.

При таком сдвиге горизонтальная асимптота $y=0$ не изменится, а вертикальная асимптота $x=0$ сместится на 4 единицы вправо и станет прямой $x=4$. Каждая точка базового графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0+4, y_0)$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x-4}$ — это гипербола $y = \frac{12}{x}$, сдвинутая на 4 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=4$, горизонтальная асимптота: $y=0$.

2) $y = \frac{12+4x}{x}$

Сначала преобразуем выражение для функции, разделив числитель почленно на знаменатель: $y = \frac{12+4x}{x} = \frac{12}{x} + \frac{4x}{x} = \frac{12}{x} + 4$.

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 4 единицы вверх.

При таком сдвиге вертикальная асимптота $x=0$ не изменится, а горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 4 единицы вверх и станет прямой $y=4$. Каждая точка базового графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0+4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{12+4x}{x}$ — это гипербола $y = \frac{12}{x}$, сдвинутая на 4 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$, горизонтальная асимптота: $y=4$.